(1)

単調増加列のとき、
\begin{align*} \limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n} & =\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}\\ & =\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\\ & =\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\\ & =\bigcup_{k=1}^{\infty}\bigcap_{j=k}^{\infty}A_{j}\\ & =\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n} \end{align*} となるので、与式は成り立つ。
単調減少列のとき、
\begin{align*} \limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n} & =\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}\\ & =\bigcap_{n\in\mathbb{N}}A_{n}\\ & =\bigcap_{n=k}^{\infty}A_{n}\\ & =\bigcup_{k\in\mathbb{N}}\bigcap_{n=k}^{\infty}A_{n}\\ & =\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n} \end{align*} となるので、与式は成り立つ。
これより、単調増加列のときも単調減少列のときも与式は成り立つ。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(A_{1}=\emptyset,A_{2}=X,A_{3}=A_{4}=\cdots=\emptyset\)とすると、
\begin{align*} \limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n} & =\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}\\ & =\left(\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\right)\cap\left(\bigcup_{k=2}^{\infty}A_{k}\right)\cap\left(\bigcup_{k=3}^{\infty}A_{k}\right)\cap\left(\bigcup_{k=4}^{\infty}A_{k}\right)\cap\cdots\\ & =X\cap X\cap\emptyset\cap\emptyset\cap\cdots\\ & =\emptyset \end{align*} \begin{align*} \liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n} & =\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{k}\\ & =\left(\bigcap_{k=1}^{\infty}A_{k}\right)\cup\left(\bigcap_{k=2}^{\infty}A_{k}\right)\cup\left(\bigcap_{k=3}^{\infty}A_{k}\right)\cup\left(\bigcap_{k=4}^{\infty}A_{k}\right)\cup\cdots\\ & =\emptyset\cup\emptyset\cup\emptyset\cup\emptyset\cup\cdots\\ & =\emptyset \end{align*} となるので、
\[ \limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}=\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n} \] であるが、\(A_{k}\)は単調増加列でも単調減少列でもない。
従って、逆は一般的に成り立たない。

(2)

(1)より、\(\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}=\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}=\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}\)となり上極限集合と下極限集合が一致するので、
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}A_{n}=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_{n} \] となる。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(A_{1}=X,A_{2}=\emptyset,A_{3}=A_{4}=\cdots=X\)とすると、
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}A_{n}=X \] \[ \bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_{n}=X \] となるので、
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}A_{n}=X=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_{n} \] となるが、\(A_{k}\)は単調増加列ではない。

(2)-2

\(a\in\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_{n}\)とすると、ある\(n\in\mathbb{N}\)が存在し、\(a\in A_{n}\)となる。
また、任意の\(k\geq n\) に対し、単調増加列より、\(A_{n}\subseteq A_{k}\)より\(a\in A_{k}\)となるので、\(a\in\bigcap_{k\geq n}A_{k}\)となる。
これより、\(a\in\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\bigcap_{k\geq n}A_{k}=\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}\)となるので、\(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_{n}\subseteq\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}\)となる。
次に\(\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}\subseteq\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_{n}\)を示す。
\begin{align*} \limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n} & =\bigcap_{n\in\mathbb{N}}\bigcup_{k\geq n}A_{k}\\ & \subseteq\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\bigcup_{k\geq n}A_{k}\cmt{\because\forall m,n\in\mathbb{N},\bigcap_{k=m}^{\infty}A_{k}\subseteq\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}}\\ & =\bigcup_{k\in\mathbb{N}}\bigcup_{n=1}^{k-1}A_{k}\\ & =\bigcup_{k\in\mathbb{N}}A_{k} \end{align*} となるので、\(\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}\subseteq\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_{n}\)である。
これより、
\[ \bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_{n}\subseteq\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}\subseteq\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}\subseteq\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_{n} \] であるので、\(\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}=\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}\)となるので、\(\lim_{n\rightarrow\infty}A_{n}=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_{n}\)となる。

(3)

(1)より、\(\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}=\bigcap_{k=1}^{\infty}A_{k}=\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}\)となり上極限集合と下極限集合が一致するので、
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}A_{n}=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}A_{n} \] となる。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(A_{1}=\emptyset,A_{2}=X,A_{3}=A_{4}=\cdots=\emptyset\)とすると、
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}A_{n}=\emptyset \] \[ \bigcap_{n\in\mathbb{N}}A_{n}=\emptyset \] となるので、
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}A_{n}=\emptyset=\bigcap_{n\in\mathbb{N}}A_{n} \] となるが、\(A_{k}\)は単調減少列ではない。

(3)-2

集合列\(\left(A_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)が単調減少列のとき、補集合\(\left(A_{n}^{c}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は単調増加列になるので、
\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}A_{n} & =\left(\lim_{n\rightarrow\infty}A_{n}^{c}\right)^{c}\\ & =\left(\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_{n}^{c}\right)^{c}\\ & =\bigcap_{n\in\mathbb{N}}A_{n} \end{align*} となり、与式は成り立つ。