単調増加列・単調減少列同士の積集合と和集合
\[ \bigcup_{k=1}^{\infty}\left(A_{k}\cap B_{k}\right)=\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\cap\bigcup_{k=1}^{\infty}B_{k} \]
\[ \bigcap_{k=1}^{\infty}\left(A_{k}\cup B_{k}\right)=\bigcap_{k=1}^{\infty}A_{k}\cup\bigcap_{k=1}^{\infty}B_{k} \]
(1)
集合列\(\left(A_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}},\left(B_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)が共に単調増加列または単調減少列とする。\[ \bigcup_{k=1}^{\infty}\left(A_{k}\cap B_{k}\right)=\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\cap\bigcup_{k=1}^{\infty}B_{k} \]
(2)
集合列\(\left(A_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}},\left(B_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)が共に単調増加列または単調減少列とする。\[ \bigcap_{k=1}^{\infty}\left(A_{k}\cup B_{k}\right)=\bigcap_{k=1}^{\infty}A_{k}\cup\bigcap_{k=1}^{\infty}B_{k} \]
有限な集合列\(\left(A_{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} },\left(B_{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\)が共に単調増加列または単調減少列の場合にも成り立ちます。
すなわち、
\[ \bigcup_{k=1}^{n}\left(A_{k}\cap B_{k}\right)=\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}\cap\bigcup_{k=1}^{n}B_{k} \] \[ \bigcap_{k=1}^{n}\left(A_{k}\cup B_{k}\right)=\bigcap_{k=1}^{n}A_{k}\cup\bigcap_{k=1}^{n}B_{k} \] となる。
証明は\(A_{n},B_{n}\)以降は全て\(A_{n},B_{n}\)とすれば、すなわち\(\left(A_{k}=A_{n}\right)_{k\in\left\{ n+1,n+2,\cdots\right\} },\left(B_{k}=A_{n}\right)_{k\in\left\{ n+1,n+2,\cdots\right\} }\)とすれば\(A_{k},B_{k}\)は無限まで続く単調増加列または単調減少列となり、\(n+1\)以降は影響しないので与式は成り立ちます。
\[ \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cap\left(\bigcup_{\mu\in M}B_{\mu}\right)=\bigcup_{\left(\lambda,\mu\right)\in\Lambda\times M}\left(A_{\lambda}\cap B_{\mu}\right) \] \[ \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cup\left(\bigcap_{\mu\in M}B_{\mu}\right)=\bigcap_{\left(\lambda,\mu\right)\in\Lambda\times M}\left(A_{\lambda}\cup B_{\mu}\right) \]
すなわち、
\[ \bigcup_{k=1}^{n}\left(A_{k}\cap B_{k}\right)=\bigcup_{k=1}^{n}A_{k}\cap\bigcup_{k=1}^{n}B_{k} \] \[ \bigcap_{k=1}^{n}\left(A_{k}\cup B_{k}\right)=\bigcap_{k=1}^{n}A_{k}\cup\bigcap_{k=1}^{n}B_{k} \] となる。
証明は\(A_{n},B_{n}\)以降は全て\(A_{n},B_{n}\)とすれば、すなわち\(\left(A_{k}=A_{n}\right)_{k\in\left\{ n+1,n+2,\cdots\right\} },\left(B_{k}=A_{n}\right)_{k\in\left\{ n+1,n+2,\cdots\right\} }\)とすれば\(A_{k},B_{k}\)は無限まで続く単調増加列または単調減少列となり、\(n+1\)以降は影響しないので与式は成り立ちます。
-
\(\Lambda,M\)を添え字集合として、\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda},\left\{ B_{\lambda}\right\} _{\lambda\in M}\)を集合族とすると一般的に次が成り立ちます。\[ \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cap\left(\bigcup_{\mu\in M}B_{\mu}\right)=\bigcup_{\left(\lambda,\mu\right)\in\Lambda\times M}\left(A_{\lambda}\cap B_{\mu}\right) \] \[ \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cup\left(\bigcap_{\mu\in M}B_{\mu}\right)=\bigcap_{\left(\lambda,\mu\right)\in\Lambda\times M}\left(A_{\lambda}\cup B_{\mu}\right) \]
(1)
単調増加列の場合
\begin{align*} A_{\min\left(j,k\right)}\cup B_{\min\left(j,k\right)} & \subseteq A_{j}\cup B_{k}\\ & \subseteq A_{\max\left(j,k\right)}\cup B_{\max\left(j,k\right)} \end{align*} なので、\begin{align*} \bigcup_{\left(j,k\right)=\left(1,1\right)}^{\left(\infty,\infty\right)}\left(A_{\min\left(j,k\right)}\cap B_{\min\left(j,k\right)}\right) & =\bigcup_{j=k}\left(A_{\min\left(j,k\right)}\cap B_{\min\left(j,k\right)}\right)\cup\bigcup_{j<k}\left(A_{\min\left(j,k\right)}\cup B_{\min\left(j,k\right)}\right)\cup\bigcup_{j>k}\left(A_{\min\left(j,k\right)}\cap B_{\min\left(j,k\right)}\right)\\ & =\bigcup_{j=1}^{\infty}\left(A_{j}\cap B_{j}\right)\cup\bigcup_{j=1}^{\infty}\left(A_{j}\cap B_{j}\right)\cup\bigcup_{k=1}^{\infty}\left(A_{k}\cap B_{k}\right)\\ & =\bigcup_{j=1}^{\infty}\left(A_{j}\cap B_{j}\right)\\ & =\bigcup_{j=1}^{\infty}\left(A_{j}\cap B_{j}\right)\cup\bigcup_{j=2}^{\infty}\left(A_{j}\cap B_{j}\right)\cup\bigcup_{k=2}^{\infty}\left(A_{k}\cap B_{k}\right)\\ & =\bigcup_{j=k}\left(A_{\max\left(j,k\right)}\cap B_{\max\left(j,k\right)}\right)\cup\bigcup_{j>k}\left(A_{\max\left(j,k\right)}\cap B_{\max\left(j,k\right)}\right)\cup\bigcup_{j<k}\left(A_{\max\left(j,k\right)}\cap B_{\max\left(j,k\right)}\right)\\ & =\bigcup_{\left(j,k\right)=\left(1,1\right)}^{\left(\infty,\infty\right)}\left(A_{\max\left(j,k\right)}\cap B_{\max\left(j,k\right)}\right) \end{align*} となるので、挟み撃ちの原理より、
\[ \bigcup_{j=1}^{\infty}\left(A_{j}\cap B_{j}\right)=\bigcup_{\left(j,k\right)=\left(1,1\right)}^{\left(\infty,\infty\right)}\left(A_{\min\left(j,k\right)}\cap B_{\min\left(j,k\right)}\right)=\bigcup_{\left(j,k\right)=\left(1,1\right)}^{\left(\infty,\infty\right)}\left(A_{j}\cap B_{k}\right)=\bigcup_{\left(j,k\right)=\left(1,1\right)}^{\left(\infty,\infty\right)}\left(A_{\max\left(j,k\right)}\cap B_{\max\left(j,k\right)}\right) \] となる。
これより、
\begin{align*} \bigcup_{k=1}^{\infty}\left(A_{k}\cap B_{k}\right) & =\bigcup_{\left(k,j\right)=\left(1,1\right)}^{\left(\infty,\infty\right)}\left(A_{k}\cap B_{j}\right)\\ & =\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\cap\bigcup_{j=1}^{\infty}B_{j}\\ & =\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\cap\bigcup_{k=1}^{\infty}B_{k} \end{align*} となるので与式は成り立つ。
単調減少列の場合
\begin{align*} A_{\max\left(j,k\right)}\cup B_{\max\left(j,k\right)} & \subseteq A_{j}\cup B_{k}\\ & \subseteq A_{\min\left(j,k\right)}\cup B_{\min\left(j,k\right)} \end{align*} なので、\begin{align*} \bigcup_{\left(j,k\right)=\left(1,1\right)}^{\left(\infty,\infty\right)}\left(A_{\max\left(j,k\right)}\cap B_{\max\left(j,k\right)}\right) & =\bigcup_{j=k}\left(A_{\max\left(j,k\right)}\cap B_{\max\left(j,k\right)}\right)\cup\bigcup_{j<k}\left(A_{\max\left(j,k\right)}\cap B_{\max\left(j,k\right)}\right)\cup\bigcup_{j>k}\left(A_{\max\left(j,k\right)}\cap B_{\max\left(j,k\right)}\right)\\ & =\bigcup_{j=1}^{\infty}\left(A_{j}\cap B_{j}\right)\cup\bigcup_{k=2}^{\infty}\left(A_{k}\cap B_{k}\right)\cup\bigcup_{j=2}^{\infty}\left(A_{j}\cap B_{j}\right)\\ & =\bigcup_{j=1}^{\infty}\left(A_{j}\cap B_{j}\right)\\ & =\bigcup_{j=1}^{\infty}\left(A_{j}\cap B_{j}\right)\cup\bigcup_{k=1}^{\infty}\left(A_{k}\cap B_{k}\right)\cup\bigcup_{j=1}^{\infty}\left(A_{j}\cap B_{j}\right)\\ & =\bigcup_{j=k}\left(A_{\min\left(j,k\right)}\cap B_{\min\left(j,k\right)}\right)\cup\bigcup_{j>k}\left(A_{\min\left(j,k\right)}\cap B_{\min\left(j,k\right)}\right)\cup\bigcup_{j<k}\left(A_{\min\left(j,k\right)}\cap B_{\min\left(j,k\right)}\right)\\ & =\bigcup_{\left(j,k\right)=\left(1,1\right)}^{\left(\infty,\infty\right)}\left(A_{\min\left(j,k\right)}\cap B_{\min\left(j,k\right)}\right) \end{align*} となるので、挟み撃ちの原理より、
\[ \bigcup_{j=1}^{\infty}\left(A_{j}\cap B_{j}\right)=\bigcup_{\left(j,k\right)=\left(1,1\right)}^{\left(\infty,\infty\right)}\left(A_{\max\left(j,k\right)}\cap B_{\max\left(j,k\right)}\right)=\bigcup_{\left(j,k\right)=\left(1,1\right)}^{\left(\infty,\infty\right)}\left(A_{j}\cap B_{k}\right)=\bigcup_{\left(j,k\right)=\left(1,1\right)}^{\left(\infty,\infty\right)}\left(A_{\min\left(j,k\right)}\cap B_{\min\left(j,k\right)}\right) \] となる。
これより、
\begin{align*} \bigcup_{k=1}^{\infty}\left(A_{k}\cap B_{k}\right) & =\bigcup_{\left(k,j\right)=\left(1,1\right)}^{\left(\infty,\infty\right)}\left(A_{k}\cap B_{j}\right)\\ & =\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\cap\bigcup_{j=1}^{\infty}B_{j}\\ & =\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\cap\bigcup_{k=1}^{\infty}B_{k} \end{align*} となるので与式は成り立つ。
-
これらより、\(\left(A_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}},\left(B_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)が共に単調増大列または単調減少列のとき、\begin{align*} \bigcup_{k=1}^{\infty}\left(A_{k}\cap B_{k}\right) & =\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\cap\bigcup_{k=1}^{\infty}B_{k} \end{align*} を満たすので題意は成り立つ。
(2)
単調減少列の場合
\(\left(A_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}},\left(B_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)が単調減少列のとき、\(\left(A_{n}^{\;c}\right)_{n\in\mathbb{N}},\left(B_{n}^{\;c}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は単調増加列になるので(1)より、\begin{align*} \bigcap_{k=1}^{\infty}\left(A_{k}\cup B_{k}\right) & =\left\{ \bigcup_{k=1}^{\infty}\left(A_{k}^{c}\cap B_{k}^{c}\right)\right\} ^{c}\\ & =\left\{ \bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}^{c}\cap\bigcup_{k=1}^{\infty}B_{k}^{c}\right\} ^{c}\\ & =\bigcap_{k=1}^{\infty}A_{k}\cup\bigcap_{k=1}^{\infty}B_{k} \end{align*} となるので与式は成り立つ。
単調増加列の場合
\(\left(A_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}},\left(B_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)が単調増加列のとき、\(\left(A_{n}^{c}\right)_{n\in\mathbb{N}},\left(B_{n}^{c}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)は単調減少列になるので(1)より、\begin{align*} \bigcap_{k=1}^{\infty}\left(A_{k}\cup B_{k}\right) & =\left\{ \bigcup_{k=1}^{\infty}\left(A_{k}^{c}\cap B_{k}^{c}\right)\right\} ^{c}\\ & =\left\{ \bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}^{c}\cap\bigcup_{k=1}^{\infty}B_{k}^{c}\right\} ^{c}\\ & =\bigcap_{k=1}^{\infty}A_{k}\cup\bigcap_{k=1}^{\infty}B_{k} \end{align*} となるので与式は成り立つ。
(2)-2
単調減少列の場合
\begin{align*} A_{\max\left(j,k\right)}\cup B_{\max\left(j,k\right)} & \subseteq A_{j}\cup B_{k}\\ & \subseteq A_{\min\left(j,k\right)}\cup B_{\min\left(j,k\right)} \end{align*} なので、\begin{align*} \bigcap_{\left(j,k\right)=\left(1,1\right)}^{\left(\infty,\infty\right)}\left(A_{\max\left(j,k\right)}\cup B_{\max\left(j,k\right)}\right) & =\bigcap_{j=k}\left(A_{\max\left(j,k\right)}\cup B_{\max\left(j,k\right)}\right)\cap\bigcap_{j<k}\left(A_{\max\left(j,k\right)}\cup B_{\max\left(j,k\right)}\right)\cap\bigcap_{j>k}\left(A_{\max\left(j,k\right)}\cup B_{\max\left(j,k\right)}\right)\\ & =\bigcap_{j=1}^{\infty}\left(A_{j}\cup B_{j}\right)\cap\bigcap_{k=2}^{\infty}\left(A_{k}\cup B_{k}\right)\cap\bigcap_{j=2}^{\infty}\left(A_{j}\cup B_{j}\right)\\ & =\bigcap_{j=1}^{\infty}\left(A_{j}\cup B_{j}\right)\\ & =\bigcap_{j=1}^{\infty}\left(A_{j}\cup B_{j}\right)\cap\bigcap_{k=1}^{\infty}\left(A_{k}\cup B_{k}\right)\cap\bigcap_{j=1}^{\infty}\left(A_{j}\cup B_{j}\right)\\ & =\bigcap_{j=k}\left(A_{\min\left(j,k\right)}\cup B_{\min\left(j,k\right)}\right)\cap\bigcap_{j>k}\left(A_{\min\left(j,k\right)}\cup B_{\min\left(j,k\right)}\right)\cap\bigcap_{j<k}\left(A_{\min\left(j,k\right)}\cup B_{\min\left(j,k\right)}\right)\\ & =\bigcap_{\left(j,k\right)=\left(1,1\right)}^{\left(\infty,\infty\right)}\left(A_{\min\left(j,k\right)}\cup B_{\min\left(j,k\right)}\right) \end{align*} となるので、挟み撃ちの原理より、
\[ \bigcap_{j=1}^{\infty}\left(A_{j}\cup B_{j}\right)=\bigcap_{\left(j,k\right)=\left(1,1\right)}^{\left(\infty,\infty\right)}A_{\max\left(j,k\right)}\cup B_{\max\left(j,k\right)}=\bigcap_{\left(j,k\right)=\left(1,1\right)}^{\left(\infty,\infty\right)}A_{j}\cup B_{k}=\bigcap_{\left(j,k\right)=\left(1,1\right)}^{\left(\infty,\infty\right)}A_{\min\left(j,k\right)}\cup B_{\min\left(j,k\right)} \] となる。
これより、
\begin{align*} \bigcap_{k=1}^{\infty}\left(A_{k}\cup B_{k}\right) & =\bigcap_{\left(k,j\right)=\left(1,1\right)}^{\left(\infty,\infty\right)}\left(A_{k}\cup B_{j}\right)\\ & =\bigcap_{k=1}^{\infty}A_{k}\cup\bigcap_{j=1}^{\infty}B_{j}\\ & =\bigcap_{k=1}^{\infty}A_{k}\cup\bigcap_{k=1}^{\infty}B_{k} \end{align*} となるので与式は成り立つ。
単調増加列の場合
\begin{align*} A_{\min\left(j,k\right)}\cup B_{\min\left(j,k\right)} & \subseteq A_{j}\cup B_{k}\\ & \subseteq A_{\max\left(j,k\right)}\cup B_{\max\left(j,k\right)} \end{align*} なので、\begin{align*} \bigcap_{\left(j,k\right)=\left(1,1\right)}^{\left(\infty,\infty\right)}\left(A_{\min\left(j,k\right)}\cup B_{\min\left(j,k\right)}\right) & =\bigcap_{j=k}\left(A_{\min\left(j,k\right)}\cup B_{\min\left(j,k\right)}\right)\cap\bigcap_{j<k}\left(A_{\min\left(j,k\right)}\cup B_{\min\left(j,k\right)}\right)\cap\bigcap_{j>k}\left(A_{\min\left(j,k\right)}\cup B_{\min\left(j,k\right)}\right)\\ & =\bigcap_{j=1}^{\infty}\left(A_{j}\cup B_{j}\right)\cap\bigcap_{j=1}^{\infty}\left(A_{k}\cup B_{k}\right)\cap\bigcap_{k=1}^{\infty}\left(A_{j}\cup B_{j}\right)\\ & =\bigcap_{j=1}^{\infty}\left(A_{j}\cup B_{j}\right)\\ & =\bigcap_{j=1}^{\infty}\left(A_{j}\cup B_{j}\right)\cap\bigcap_{j=2}^{\infty}\left(A_{k}\cup B_{k}\right)\cap\bigcap_{k=2}^{\infty}\left(A_{j}\cup B_{j}\right)\\ & =\bigcap_{j=k}\left(A_{\max\left(j,k\right)}\cup B_{\max\left(j,k\right)}\right)\cap\bigcap_{j>k}\left(A_{\max\left(j,k\right)}\cup B_{\max\left(j,k\right)}\right)\cap\bigcap_{j<k}\left(A_{\max\left(j,k\right)}\cup B_{\max\left(j,k\right)}\right)\\ & =\bigcap_{\left(j,k\right)=\left(1,1\right)}^{\left(\infty,\infty\right)}\left(A_{\max\left(j,k\right)}\cup B_{\max\left(j,k\right)}\right) \end{align*} となるので、挟み撃ちの原理より、
\[ \bigcap_{j=1}^{\infty}\left(A_{j}\cup B_{j}\right)=\bigcap_{\left(j,k\right)=\left(1,1\right)}^{\left(\infty,\infty\right)}A_{\min\left(j,k\right)}\cup B_{\min\left(j,k\right)}=\bigcap_{\left(j,k\right)=\left(1,1\right)}^{\left(\infty,\infty\right)}A_{j}\cup B_{k}=\bigcap_{\left(j,k\right)=\left(1,1\right)}^{\left(\infty,\infty\right)}A_{\max\left(j,k\right)}\cup B_{\max\left(j,k\right)} \] となる。
これより、
\begin{align*} \bigcap_{k=1}^{\infty}\left(A_{k}\cup B_{k}\right) & =\bigcap_{\left(k,j\right)=\left(1,1\right)}^{\left(\infty,\infty\right)}\left(A_{k}\cup B_{j}\right)\\ & =\bigcap_{k=1}^{\infty}A_{k}\cup\bigcap_{j=1}^{\infty}B_{j}\\ & =\bigcap_{k=1}^{\infty}A_{k}\cup\bigcap_{k=1}^{\infty}B_{k} \end{align*} となるので与式は成り立つ。
-
これらより、\(\left(A_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}},\left(B_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)が共に単調増大列または単調減少列のとき、\begin{align*} \bigcap_{k=1}^{\infty}\left(A_{k}\cup B_{k}\right) & =\bigcap_{k=1}^{\infty}A_{k}\cup\bigcap_{k=1}^{\infty}B_{k} \end{align*} を満たすので題意は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 単調増加列・単調減少列同士の積集合と和集合 |
| URL | https://www.nomuramath.com/pqghnieb/ |
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集合列の和集合と積集合の包含関係
\[
\forall m,n\in\mathbb{N},\bigcap_{k=m}^{\infty}A_{k}\subseteq\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}
\]
2つの集合族同士の演算
\[
\left(\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cap\left(\prod_{\mu\in\Lambda}B_{\mu}\right)=\prod_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\cap B_{\lambda}\right)
\]
和集合・積集合の元とそれぞれの集合との関係
\[
a\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\Leftrightarrow\bigvee_{\lambda\in\Lambda}a\in A_{\lambda}
\]
直積集合の性質
\[
\left(A\times B\right)^{c}=\left(A^{c}\times B^{c}\right)\cup\left(A^{c}\times B\right)\cup\left(A\times B^{c}\right)
\]