配置集合
集合\(A\)から集合\(B\)への写像を全て集めた集合を\(A\)から\(B\)の配置集合といい、\(B^{A}\)で表す。
配置集合の濃度
\(A\)と\(B\)が有限集合なら
\[ \left|B^{A}\right|=\left|B\right|^{\left|A\right|} \] となる。
\(A\)の各元に対し\(\left|B\right|\)通りの選択があるので、\(\left|B^{A}\right|=\left|B\right|^{\left|A\right|}\)となる。
配置集合は\(map\left(A,B\right)\)でも表される。

\(A\ne\emptyset,B=\emptyset\)のとき、\(A\)から\(B\)の写像は存在しなくて、\(B^{A}=\emptyset\)となる。
\(B\)は空集合でも空集合でなくてもよくて、\(A=\emptyset\)のとき、\(A\)から\(B\)の写像を空写像といい、\(B^{A}=\left\{ \emptyset\right\} \)となり、これは空写像という写像が存在するということである。

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mapとhomの違いはmapは写像全体であり、homは線形写像全体である。

\(A=\left\{ a_{1},a_{2}\right\} ,B=\left\{ b_{1},b_{2}\right\} \)とすると\(B^{A}=\left\{ \left\{ a_{1}\mapsto b_{1},a_{2}\mapsto b_{1}\right\} ,\left\{ a_{1}\mapsto b_{1},a_{2}\mapsto b_{2}\right\} ,\left\{ a_{1}\mapsto b_{2},a_{2}\mapsto b_{1}\right\} ,\left\{ a_{1}\mapsto b_{2},a_{2}\mapsto b_{2}\right\} \right\} \)となる。
\(A=\left\{ a\right\} ,B=\emptyset\)とすると\(B^{A}=\emptyset\)となる。
\(A=\emptyset,B=\left\{ b\right\} \)とすると\(B^{A}=\left\{ \emptyset\right\} \)となる。
\(A=\emptyset,B=\emptyset\)とすると\(B^{A}=\left\{ \emptyset\right\} \)となる。

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タイトル	配置集合
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2つの集合族同士の演算

\[ \left(\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cap\left(\prod_{\mu\in\Lambda}B_{\mu}\right)=\prod_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\cap B_{\lambda}\right) \]

和集合・積集合の元とそれぞれの集合との関係

\[ a\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\Leftrightarrow\bigvee_{\lambda\in\Lambda}a\in A_{\lambda} \]

直積集合の性質

\[ \left(A\times B\right)^{c}=\left(A^{c}\times B^{c}\right)\cup\left(A^{c}\times B\right)\cup\left(A\times B^{c}\right) \]

直積集合の定義

\[ A\times B:=\left\{ \left(a,b\right);a\in A\land b\in B\right\} \]