(1)

\begin{align*} A\times B & =\left\{ \left(a,b\right);a\in A\land b\in B\right\} \\ & \ne\left\{ \left(b,a\right);a\in A\land b\in B\right\} \\ & =B\times A \end{align*}

(2)

\(A=\left\{ a\right\} ,B=\left\{ b\right\} ,C=\left\{ c\right\} \)とすると、
\begin{align*} A\times B\times C & =\left\{ a\right\} \times\left\{ b\right\} \times\left\{ c\right\} \\ & =\left\{ \left(a,b,c\right)\right\} \end{align*} \begin{align*} A\times\left(B\times C\right) & =\left\{ a\right\} \times\left(\left\{ b\right\} \times\left\{ c\right\} \right)\\ & =\left\{ \left(a,\left(b,c\right)\right)\right\} \end{align*} \begin{align*} \left(A\times B\right)\times C & =\left(\left\{ a\right\} \times\left\{ b\right\} \right)\times\left\{ c\right\} \\ & =\left\{ \left(\left(a,b\right),c\right)\right\} \end{align*} は全て異なる集合であるが、\(A\times\left(B\times C\right)\)については全単射\(f:A\times\left(B\times C\right)\rightarrow A\times B\times C,\left(a,\left(b,c\right)\right)\mapsto\left(a,b,c\right)\)を考えれば同一のものとなる。
同様に\(\left(A\times B\right)\times C\)については全単射\(f:\left(A\times B\right)\times C\rightarrow A\times B\times C,\left(\left(a,b\right),c\right)\mapsto\left(a,b,c\right)\)を考えればいい。

(3)

\(\Rightarrow\)

\(A\subseteq B\)のとき、任意の\(a\in A,c\in C\)に対し、\(\left(a,c\right)\in A\times C\)は\(a\in A\land c\in C\)より、\(a\in B\land c\in C\)となり\(\left(a,c\right)\in B\times C\)となるので\(A\times C\subseteq B\times C\)となる。
従って、\(\Rightarrow\)が成り立つ。

逆は一般的に成り立たない。

反例で示す。
\(A=\left\{ a\right\} ,B=\emptyset,C=\emptyset\)とすると、右辺は\(A\times C\subseteq B\times C\Leftrightarrow\left\{ a\right\} \times\emptyset\subseteq\emptyset\times\emptyset\Leftrightarrow\emptyset\subseteq\emptyset\Leftrightarrow\top\)であるが、左辺は\(A\subseteq B\Leftrightarrow\left\{ a\right\} \subseteq\emptyset\Leftrightarrow\bot\)となるので成り立たない。
これより、逆は一般的に成り立たない。

(4)

\(\emptyset\times A=\left\{ \left(b,a\right);b\in\emptyset\land a\in A\right\} \)となるが、空集合から元はとれないので\(\emptyset\times A=\emptyset\)となる。

(5)

\(A\times\emptyset=\left\{ \left(a,b\right);a\in A\land b\in\emptyset\right\} \)となるが、空集合から元はとれないので\(A\times\emptyset=\emptyset\)となる。

(6)

\(\Rightarrow\)

\(A=\emptyset\Rightarrow A\times B=\emptyset\)と\(B=\emptyset\Rightarrow A\times B=\emptyset\)が成り立つので\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

対偶で示す。
\(A\ne\emptyset\land B\ne\emptyset\)のとき、\(A\)からも\(B\)からも元をとれるので、\(A\times B\ne\emptyset\)となる。
従って、対偶が示されたので\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

(7)

\(\Rightarrow\)

ある\(\lambda\in\Lambda\)が存在し、\(A_{\lambda}=\emptyset\)となるとき、\(\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\)となる元は存在しないので\(\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}=\emptyset\)となる。
従って\(\Rightarrow\)は成り立つ。

\(\Leftarrow\)

対偶をとると、
\[ \forall\lambda\in\Lambda,A_{\lambda}\ne\emptyset\Rightarrow\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\ne\emptyset \] であるが、これは選択公理である。
従って、\(\Leftarrow\)が成り立つには選択公理が必要である。

(8)

\(\Rightarrow\)

\(\left(A\times B\subseteq C\times D\right)\rightarrow\left(A\subseteq C\land B\subseteq D\right)\)を示す。
\(A\times B\subseteq C\times D\)となるとき、任意の\(\left(a,b\right)\in A\times B\)に対し、\(\left(a,b\right)\in C\times D\)となる。
このとき、任意の\(a\in A\)に対し、\(a\in C\)となり、任意の\(b\in B\)に対し、\(b\in D\)となる。
従って、\(A\subseteq C\land B\subseteq D\)となるので、\(\left(A\times B\subseteq C\times D\right)\rightarrow\left(A\subseteq C\land B\subseteq D\right)\)となる。
\(\left(A\times B\subseteq C\times D\right)\leftarrow\left(A\subseteq C\land B\subseteq D\right)\)を示す。
任意の\(a\in A,b\in B\)について、\(a\in C,b\in D\)とする。
このとき、\(\left(a,b\right)\in A\times B\)は\(a\in A,b\in B\)であり、このとき、\(a\in C,b\in D\)なので、\(\left(a,b\right)\in C\times D\)となるので、\(\left(A\times B\subseteq C\times D\right)\leftarrow\left(A\subseteq C\land B\subseteq D\right)\)が成り立つ。
これらより、\(\left(A\times B\subseteq C\times D\right)\rightarrow\left(A\subseteq C\land B\subseteq D\right)\)と\(\left(A\times B\subseteq C\times D\right)\leftarrow\left(A\subseteq C\land B\subseteq D\right)\)が成り立つので\(\left(A\times B\subseteq C\times D\right)\leftrightarrow\left(A\subseteq C\land B\subseteq D\right)\)が成り立つ。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(A=\emptyset,B=\emptyset\)とすると右辺は真であるが、左辺は偽となる。
従って逆は一般的に成り立たない。

(9)

\(\left(A\times B\right)\cap\left(A^{c}\times C\right)\ne\emptyset\)と仮定する。
そうするとある\(\left(a,b\right)\)が存在し、\(\left(a,b\right)\in A\times B\land\left(a,b\right)\in A^{c}\times C\)となるので、\(a\in A\land b\in B\land a\in A^{c}\land b\in C\)となるが、\(a\in A\land a\in A^{c}\Leftrightarrow a\in\left(A\cap A^{c}\right)\Leftrightarrow a\in\emptyset\)となる\(a\)が存在し矛盾。
従って背理法より、\(\left(A\times B\right)\cap\left(A^{c}\times C\right)=\emptyset\)となる。

(10)

\begin{align*} \left(A\times B\right)^{c} & =\left\{ \left(a,b\right);a\in A\land b\in B\right\} ^{c}\\ & =\left\{ \left(a,b\right);a\in A^{c}\lor b\in B^{c}\right\} \\ & =\left\{ \left(a,b\right);a\in A^{c}\lor\left(a\in A\land b\in B^{c}\right)\right\} \\ & =\left\{ \left(a,b\right);\left(a\in A^{c}\land\left(b\in B^{c}\lor b\in B\right)\right)\lor\left(a\in A\land b\in B^{c}\right)\right\} \\ & =\left\{ \left(a,b\right);\left(a\in A^{c}\land b\in B^{c}\right)\lor\left(a\in A^{c}\land b\in B\right)\lor\left(a\in A\land b\in B^{c}\right)\right\} \\ & =\left\{ \left(a,b\right);\left(a\in A^{c}\land b\in B^{c}\right)\right\} \cup\left\{ \left(a,b\right);\left(a\in A^{c}\land b\in B\right)\right\} \cup\left\{ \left(a,b\right);\left(a\in A\land b\in B^{c}\right)\right\} \\ & =\left(A^{c}\times B^{c}\right)\cup\left(A^{c}\times B\right)\cup\left(A\times B^{c}\right) \end{align*} \begin{align*} \left(A\times B\right)^{c} & =\left(A^{c}\times B^{c}\right)\cup\left(A^{c}\times B\right)\cup\left(A\times B^{c}\right)\\ & =\left(A^{c}\times\left(B^{c}\cup B\right)\right)\cup\left(A\times B^{c}\right)\\ & =\left(A^{c}\times X\right)\cup\left(A\times B^{c}\right) \end{align*} \begin{align*} \left(A\times B\right)^{c} & =\left(A^{c}\times B^{c}\right)\cup\left(A^{c}\times B\right)\cup\left(A\times B^{c}\right)\\ & =\left(\left(A^{c}\cup A\right)\times B^{c}\right)\cup\left(A^{c}\times B\right)\\ & =\left(X\times B^{c}\right)\cup\left(A^{c}\times B\right) \end{align*} \begin{align*} \left(A\times B\right)^{c} & =\left(A^{c}\times B^{c}\right)\cup\left(A^{c}\times B\right)\cup\left(A\times B^{c}\right)\\ & =\left(A^{c}\times B^{c}\right)\cup\left(A^{c}\times B\right)\cup\left(A^{c}\times B^{c}\right)\cup\left(A\times B^{c}\right)\\ & =\left(A^{c}\times\left(B^{c}\cup B\right)\right)\cup\left(\left(A^{c}\cup A\right)\times B^{c}\right)\\ & =\left(A^{c}\times X\right)\cup\left(X\times B^{c}\right) \end{align*}

(10)-2

全体集合を\(X,Y\)として、\(A\subseteq X,B\subseteq Y\)とする。
\begin{align*} \left(A\times B\right)^{c} & =\left(X\times Y\right)\setminus\left(A\times B\right)\\ & =\left(\left(A\cup A^{c}\right)\times\left(B\cup B^{c}\right)\right)\setminus\left(A\times B\right)\\ & =\left(\left(A\times B\right)\sqcup\left(A\times B^{c}\right)\sqcup\left(A^{c}\times B\right)\sqcup\left(A^{c}\times B^{c}\right)\right)\setminus\left(A\times B\right)\\ & =\left(A\times B^{c}\right)\sqcup\left(A^{c}\times B\right)\sqcup\left(A^{c}\times B^{c}\right) \end{align*}

(11)

\begin{align*} A\times\left(B\cup C\right) & =\left\{ \left(a,b\right);a\in A\land b\in B\cup C\right\} \\ & =\left\{ \left(a,b\right);a\in A\land\left(b\in B\lor b\in C\right)\right\} \\ & =\left\{ \left(a,b\right);\left(a\in A\land b\in B\right)\lor\left(a\in A\land b\in C\right)\right\} \\ & =\left\{ \left(a,b\right);a\in A\land b\in B\right\} \cup\left\{ \left(a,b\right);a\in A\land b\in C\right\} \\ & =\left(A\times B\right)\cup\left(A\times C\right) \end{align*}

(12)

\begin{align*} A\times\left(B\cap C\right) & =\left\{ \left(a,b\right);a\in A\land b\in B\cap C\right\} \\ & =\left\{ \left(a,b\right);a\in A\land b\in B\land b\in C\right\} \\ & =\left\{ \left(a,b\right);a\in A\land b\in B\land a\in A\land b\in C\right\} \\ & =\left\{ \left(a,b\right);a\in A\land b\in B\right\} \cap\left\{ \left(a,b\right);a\in A\land b\in C\right\} \\ & =\left(A\times B\right)\cap\left(A\times C\right) \end{align*}

(13)

\begin{align*} A\times\left(B\setminus C\right) & =A\times\left(B\cap C^{c}\right)\\ & =\left(A\times B\right)\cap\left(A\times C^{c}\right)\\ & =\left(A\times B\right)\cap\left(\left(A^{c}\times C^{c}\right)\cup\left(A^{c}\times C\right)\cup\left(A\times C^{c}\right)\right)\cmt{\left(A\times B\right)\cap\left(A^{c}\times C\right)=\emptyset}\\ & =\left(A\times B\right)\cap\left(A\times C\right)^{c}\cmt{\because\left(A\times B\right)^{c}=\left(A^{c}\times B^{c}\right)\cup\left(A^{c}\times B\right)\cup\left(A\times B^{c}\right)}\\ & =\left(A\times B\right)\setminus\left(A\times C\right) \end{align*}

(13)-2

直接計算する。
\begin{align*} A\times\left(B\setminus C\right) & =A\times\left(B\cap C^{c}\right)\\ & =\left\{ \left(a,b\right);a\in A\land b\in B\cap C^{c}\right\} \\ & =\left\{ \left(a,b\right);a\in A\land b\in B\land b\in C^{c}\right\} \\ & =\left\{ \left(a,b\right);a\in A\land b\in B\land\left(a\in A^{c}\lor b\in C^{c}\right)\right\} \\ & =\left\{ \left(a,b\right);a\in A\land b\in B\land\left(a\in A\land b\in C\right)^{c}\right\} \\ & =\left\{ \left(a,b\right);a\in A\land b\in B\right\} \cap\left\{ \left(a,b\right);a\in A\land b\in C\right\} ^{c}\\ & =\left(A\times B\right)\cap\left(A\times C\right)^{c}\\ & =\left(A\times B\right)\setminus\left(A\times C\right) \end{align*}

(14)

\begin{align*} A\times\left(B\triangle C\right) & =A\times\left(\left(B\cup C\right)\setminus\left(B\cap C\right)\right)\\ & =\left(A\times\left(B\cup C\right)\right)\setminus\left(A\times\left(B\cap C\right)\right)\\ & =\left(\left(A\times B\right)\cup\left(A\times C\right)\right)\setminus\left(\left(A\times B\right)\cap\left(A\times C\right)\right)\\ & =\left(A\times B\right)\triangle\left(A\times C\right) \end{align*}

(15)

(11)と同様にすればいい。

(16)

(12)と同様にすればいい。

(17)

(13)と同様にすればいい。

(18)

(14)と同様にすればいい。

(19)

\begin{align*} \left(A\cap B\right)\times\left(C\cap D\right) & =\left\{ \left(a,b\right);a\in A\cap B\land b\in C\cap D\right\} \\ & =\left\{ \left(a,b\right);a\in A\land a\in B\land b\in C\land b\in D\right\} \\ & =\left\{ \left(a,b\right);a\in A\land b\in C\land a\in A\land b\in D\land a\in B\land b\in C\land a\in B\land b\in D\right\} \\ & =\left\{ \left(a,b\right);a\in A\land b\in C\right\} \cap\left\{ \left(a,b\right);a\in A\land b\in D\right\} \cap\left\{ \left(a,b\right);a\in B\land b\in C\right\} \cap\left\{ \left(a,b\right);a\in B\land b\in D\right\} \\ & =\left(A\times C\right)\cap\left(A\times D\right)\cap\left(B\times C\right)\cap\left(B\times D\right) \end{align*} \begin{align*} \left(A\cap B\right)\times\left(C\cap D\right) & =\left\{ \left(a,b\right);a\in A\cap B\land b\in C\cap D\right\} \\ & =\left\{ \left(a,b\right);a\in A\land a\in B\land b\in C\land b\in D\right\} \\ & =\left\{ \left(a,b\right);a\in A\land b\in C\right\} \cap\left\{ \left(a,b\right);a\in B\land b\in D\right\} \\ & =\left(A\times C\right)\cap\left(B\times D\right) \end{align*}

(20)

\begin{align*} \left(A\cup B\right)\times\left(C\cup D\right) & =\left\{ \left(a,b\right);a\in A\cup B\land b\in C\cup D\right\} \\ & =\left\{ \left(a,b\right);\left(a\in A\lor a\in B\right)\land\left(b\in C\lor b\in D\right)\right\} \\ & =\left\{ \left(a,b\right);\left(a\in A\land b\in C\right)\lor\left(a\in A\land b\in D\right)\lor\left(a\in B\land b\in C\right)\lor\left(a\in B\land b\in D\right)\right\} \\ & =\left\{ \left(a,b\right);a\in A\land b\in C\right\} \cup\left\{ \left(a,b\right);a\in A\land b\in D\right\} \cup\left\{ \left(a,b\right);a\in B\land b\in C\right\} \cup\left\{ \left(a,b\right);a\in B\land b\in D\right\} \\ & =\left(A\times C\right)\cup\left(A\times D\right)\cup\left(B\times C\right)\cup\left(B\times D\right) \end{align*} \(\left(A\cup B\right)\times\left(C\cup D\right)=\left(A\times C\right)\cup\left(B\times D\right)\)とならないことを反例で示す。
\(A=D=\emptyset,B=C=\left\{ a\right\} \)とすると、左辺は、
\begin{align*} \left(A\cup B\right)\times\left(C\cup D\right) & =\left(\emptyset\cup\left\{ a\right\} \right)\times\left(\left\{ a\right\} \cup\emptyset\right)\\ & =\left\{ a\right\} \times\left\{ a\right\} \\ & =\left\{ \left(a,a\right)\right\} \end{align*} となり、右辺は、
\begin{align*} \left(A\times C\right)\cup\left(B\times D\right) & =\left(\emptyset\times\left\{ a\right\} \right)\cup\left(\left\{ a\right\} \times\emptyset\right)\\ & =\emptyset\cup\emptyset\\ & =\emptyset \end{align*} となるので、\(\left(A\cup B\right)\times\left(C\cup D\right)\ne\left(A\times C\right)\cup\left(B\times D\right)\)となる。

(21)

\begin{align*} \left(A\times B\right)\cup\left(C\times D\right) & =\left\{ \left(a,b\right);a\in A\land b\in B\right\} \cup\left\{ \left(a,b\right);a\in C\land b\in D\right\} \\ & =\left\{ \left(a,b\right);\left(a\in A\land b\in B\right)\lor\left(a\in C\land b\in D\right)\right\} \\ & =\left\{ \left(a,b\right);\left(a\in A\lor a\in C\right)\land\left(a\in A\lor b\in D\right)\land\left(b\in B\lor a\in C\right)\land\left(b\in B\lor b\in D\right)\right\} \\ & =\left\{ \left(a,b\right);\left(a\in A\cup C\right)\land\left(b\in B\cup D\right)\land\left(a\in A\lor b\in D\right)\land\left(b\in B\lor a\in C\right)\right\} \\ & =\left(\left(A\cup C\right)\times\left(B\cup D\right)\right)\cap\left\{ \left(a,b\right);a\in A\lor b\in D\right\} \cap\left\{ \left(a,b\right);a\in C\lor b\in B\right\} \\ & =\left(\left(A\cup C\right)\times\left(B\cup D\right)\right)\cap\left\{ \left(a,b\right);a\in A^{c}\land b\in D^{c}\right\} ^{c}\cap\left\{ \left(a,b\right);a\in C^{c}\land b\in B^{c}\right\} ^{c}\\ & =\left(\left(A\cup C\right)\times\left(B\cup D\right)\right)\cap\left(A^{c}\times D^{c}\right)^{c}\cap\left(C^{c}\times B^{c}\right)^{c}\\ & =\left(\left(A\cup C\right)\times\left(B\cup D\right)\right)\cap\left[\left(\left(A\cup C\right)\times\left(B\cup D\right)\right)^{c}\cup\left(\left(A^{c}\times D^{c}\right)^{c}\cap\left(C^{c}\times B^{c}\right)^{c}\right)\right]\\ & =\left(\left(A\cup C\right)\times\left(B\cup D\right)\right)\cap\left[\left(\left(A\cup C\right)\times\left(B\cup D\right)\right)\cap\left(\left(A^{c}\times D^{c}\right)\cup\left(C^{c}\times B^{c}\right)\right)\right]^{c}\\ & =\left(\left(A\cup C\right)\times\left(B\cup D\right)\right)\setminus\left[\left(\left(\left(A\cup C\right)\times\left(B\cup D\right)\right)\cap\left(A^{c}\times D^{c}\right)\right)\cup\left(\left(\left(A\cup C\right)\times\left(B\cup D\right)\right)\cap\left(C^{c}\times B^{c}\right)\right)\right]\\ & =\left(\left(A\cup C\right)\times\left(B\cup D\right)\right)\setminus\left[\left(\left(A^{c}\cap\left(A\cup C\right)\right)\times\left(D^{c}\cap\left(B\cup D\right)\right)\right)\cup\left(\left(C^{c}\cap\left(A\cup C\right)\right)\times\left(B^{c}\cap\left(B\cup D\right)\right)\right)\right]\\ & =\left(\left(A\cup C\right)\times\left(B\cup D\right)\right)\setminus\left[\left(\left(A^{c}\cap C\right)\times\left(D^{c}\cap B\right)\right)\cup\left(\left(C^{c}\cap A\right)\times\left(B^{c}\cap D\right)\right)\right]\\ & =\left(\left(A\cup C\right)\times\left(B\cup D\right)\right)\setminus\left[\left(\left(C\setminus A\right)\times\left(B\setminus D\right)\right)\cup\left(\left(A\setminus C\right)\times\left(D\setminus B\right)\right)\right] \end{align*} \begin{align*} \left(A\times B\right)\cup\left(C\times D\right) & =\left(\left(A\times B\right)\cap\left(C\times D\right)\right)\cup\left(\left(A\times B\right)\triangle\left(C\times D\right)\right)\\ & =\left(\left(A\times B\right)\cap\left(C\times D\right)\right)\cup\left(\left(A\times B\right)\setminus\left(C\times D\right)\right)\cup\left(\left(C\times D\right)\setminus\left(A\times B\right)\right)\\ & =\left(\left(A\cap C\right)\times\left(B\cap D\right)\right)\cup\left(\left(A\setminus C\right)\times B\right)\cup\left(A\times\left(B\setminus D\right)\right)\cup\left(\left(C\setminus A\right)\times D\right)\cup\left(C\times\left(D\setminus B\right)\right) \end{align*}

(22)

\begin{align*} \left(A\times B\right)\cup\left(C\times D\right) & =\left\{ \left(a,b\right);a\in A\land b\in B\right\} \cup\left\{ \left(a,b\right);a\in C\land b\in D\right\} \\ & =\left\{ \left(a,b\right);\left(a\in A\land b\in B\right)\lor\left(a\in C\land b\in D\right)\right\} \\ & =\left\{ \left(a,b\right);\left(a\in A\lor a\in C\right)\land\left(a\in A\lor b\in D\right)\land\left(b\in B\lor a\in C\right)\land\left(b\in B\lor b\in D\right)\right\} \\ & =\left\{ \left(a,b\right);\left(a\in A\cup C\right)\land\left(b\in B\cup D\right)\land\left(a\in A\lor b\in D\right)\land\left(b\in B\lor a\in C\right)\right\} \\ & \subseteq\left\{ \left(a,b\right);\left(a\in A\cup C\right)\land\left(b\in B\cup D\right)\right\} \\ & =\left(A\cup C\right)\times\left(B\cup D\right) \end{align*}

\(\supseteq\)は一般的に成り立たない

\(\left(A\times B\right)\cup\left(C\times D\right)\supseteq\left(A\cup C\right)\times\left(B\cup D\right)\)は一般的に成り立たないことを示す。
\(A=D=\emptyset,B=C=\left\{ a\right\} \)とすると、左辺は、
\begin{align*} \left(A\times B\right)\cup\left(C\times D\right) & =\left(\emptyset\times\left\{ a\right\} \right)\cup\left(\left\{ a\right\} \times\emptyset\right)\\ & =\emptyset\cup\emptyset\\ & =\emptyset \end{align*} となり右辺は
\begin{align*} \left(A\cup C\right)\times\left(B\cup D\right) & =\left(\emptyset\cup\left\{ a\right\} \right)\times\left(\left\{ a\right\} \cup\emptyset\right)\\ & =\left\{ a\right\} \times\left\{ a\right\} \\ & =\left\{ \left(a,a\right)\right\} \end{align*} となるので、\(\left(A\times B\right)\cup\left(C\times D\right)\subsetneq\left(A\cup C\right)\times\left(B\cup D\right)\)となる。
従って\(\supseteq\)は一般的に成り立たない。

(23)

\begin{align*} \left(A\times B\right)\cap\left(C\times D\right) & =\left\{ \left(a,b\right);a\in A\land b\in B\right\} \cap\left\{ \left(a,b\right);a\in C\land b\in D\right\} \\ & =\left\{ \left(a,b\right);a\in A\land b\in B\land a\in C\land b\in D\right\} \\ & =\left\{ \left(a,b\right);a\in A\cap C\land b\in B\cap D\right\} \\ & =\left(A\cap C\right)\times\left(B\cap D\right) \end{align*}

(24)

\begin{align*} \left(A\times B\right)\setminus\left(C\times D\right) & =\left(A\times B\right)\cap\left(C\times D\right)^{c}\\ & =\left(A\times B\right)\cap\left\{ \left(C^{c}\times D^{c}\right)\cup\left(C^{c}\times D\right)\cup\left(C\times D^{c}\right)\right\} \\ & =\left(A\times B\right)\cap\left\{ \left(C^{c}\times D^{c}\right)\cup\left(C^{c}\times D\right)\cup\left(C^{c}\times D^{c}\right)\cup\left(C\times D^{c}\right)\right\} \\ & =\left(A\times B\right)\cap\left\{ \left(C^{c}\times\left(D^{c}\cup D\right)\right)\cup\left(\left(C^{c}\cup C\right)\times D^{c}\right)\right\} \\ & =\left(A\times B\right)\cap\left\{ \left(C^{c}\times X\right)\cup\left(X\times D^{c}\right)\right\} \\ & =\left(\left(A\times B\right)\cap\left(C^{c}\times X\right)\right)\cup\left(\left(A\times B\right)\cap\left(X\times D^{c}\right)\right)\\ & =\left(\left(A\cap C^{c}\right)\times\left(B\cap X\right)\right)\cup\left(\left(A\cap X\right)\times\left(B\cap D^{c}\right)\right)\\ & =\left(\left(A\setminus C\right)\times B\right)\cup\left(A\times\left(B\setminus D\right)\right) \end{align*}

(24)-2

\begin{align*} \left(A\times B\right)\setminus\left(C\times D\right) & =\left\{ \left(a,b\right);a\in A\land b\in B\right\} \cap\left\{ \left(a,b\right);a\in C\land b\in D\right\} ^{c}\\ & =\left\{ \left(a,b\right);a\in A\land b\in B\land\left(a\in C^{c}\lor b\in D^{c}\right)\right\} \\ & =\left\{ \left(a,b\right);\left(a\in A\land b\in B\land a\in C^{c}\right)\lor\left(a\in A\land b\in B\land b\in D^{c}\right)\right\} \\ & =\left\{ \left(a,b\right);\left(a\in A\cap C^{c}\land b\in B\right)\lor\left(a\in A\land b\in B\cap D^{c}\right)\right\} \\ & =\left\{ \left(a,b\right);\left(a\in A\setminus C\land b\in B\right)\right\} \cup\left\{ \left(a,b\right);a\in A\land b\in B\setminus D\right\} \\ & =\left(\left(A\setminus C\right)\times B\right)\cup\left(A\times\left(B\setminus D\right)\right) \end{align*}