直積集合の定義
\[ \prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}=\left\{ \left(a_{\lambda}\right)_{\lambda\in\Lambda};\forall\lambda\in\Lambda,a_{\lambda}\in A_{\lambda}\right\} \] \[ \prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}=\left\{ f:\Lambda\rightarrow\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda};\forall\lambda\in\Lambda,f\left(\lambda\right)\in A_{\lambda}\right\} \]
(1)直積集合
\[ A\times B:=\left\{ \left(a,b\right);a\in A\land b\in B\right\} \] \[ A_{1}\times A_{2}:=\left\{ f:\left\{ 1,2\right\} \rightarrow A_{1}\cup A_{2};\forall k\in\left\{ 1,2\right\} ,f\left(k\right)\in A_{k}\right\} \](2)有限集合の直積
\begin{align*} \prod_{k=1}^{n}A_{k} & =A_{1}\times A_{2}\times\cdots\times A_{n}\\ & =\left\{ \left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n}\right);a_{1}\in A_{1}\land a_{2}\in A_{2}\land\cdots\land a_{n}\in A_{n}\right\} \\ & =\left\{ \left(a_{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} };\forall k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} ,a_{k}\in A_{k}\right\} \end{align*} \[ \prod_{k=1}^{n}A_{k}=\left\{ f:\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \rightarrow\bigcup_{k=1}^{n}A_{k};\forall k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} ,f\left(k\right)\in A_{k}\right\} \](3)任意濃度の直積
\(\Lambda\)を任意濃度として集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)があるとき、直積\(\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\)は写像を元とする集合として定義される。\[ \prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}=\left\{ \left(a_{\lambda}\right)_{\lambda\in\Lambda};\forall\lambda\in\Lambda,a_{\lambda}\in A_{\lambda}\right\} \] \[ \prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}=\left\{ f:\Lambda\rightarrow\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda};\forall\lambda\in\Lambda,f\left(\lambda\right)\in A_{\lambda}\right\} \]
写像による直積の定義
集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)があるとき、直積\(\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\)を写像を元とする集合\[ \prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}:=\left\{ f:\Lambda\rightarrow\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda};\forall\lambda\in\Lambda,f\left(\lambda\right)\in A_{\lambda}\right\} \] とする。
このとき、\(\Lambda=\emptyset\)のときは、
\begin{align*} \prod_{\lambda\in\emptyset}A_{\lambda} & :=\left\{ f:\emptyset\rightarrow\bigcup_{\lambda\in\emptyset}A_{\lambda};\forall\lambda\in\emptyset,f\left(\lambda\right)\in A_{\lambda}\right\} \\ & =\left\{ f:\emptyset\rightarrow\bigcup_{\lambda\in\emptyset}A_{\lambda};\top\right\} \\ & =\left\{ f\text{は空写像}\right\} \end{align*} となり、\(\prod_{\lambda\in\emptyset}A_{\lambda}\)の元は1つのみとなる。
例えば\(\prod_{\lambda\in\left\{ 1,2\right\} }\mathbb{R}=\mathbb{R}^{2}\)は平面であり、\(\prod_{\lambda\in\left\{ 1\right\} }\mathbb{R}=\mathbb{R}^{1}\)は直線であり、\(\prod_{\lambda\in\emptyset}\mathbb{R}=\mathbb{R}^{0}\)は1点となる。
また、\(\Lambda\ne\emptyset\)として、ある\(\lambda_{0}\in\Lambda\)が存在し\(A_{\lambda_{0}}=\emptyset\)
とすると、
\begin{align*} \prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda} & :=\left\{ f:\Lambda\rightarrow\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda};\forall\lambda\in\Lambda,f\left(\lambda\right)\in A_{\lambda}\right\} \\ & =\left\{ f:\Lambda\rightarrow\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda};\left(\forall\lambda\in\Lambda\setminus\left\{ \lambda_{0}\right\} ,f\left(\lambda\right)\in A_{\lambda}\right)\land\left(\forall\lambda\in\left\{ \lambda_{0}\right\} ,f\left(\lambda\right)\in A_{\lambda}\right)\right\} \\ & =\left\{ f:\Lambda\rightarrow\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda};\left(\forall\lambda\in\Lambda\setminus\left\{ \lambda_{0}\right\} ,f\left(\lambda\right)\in A_{\lambda}\right)\land f\left(\lambda_{0}\right)\in\emptyset\right\} \\ & =\left\{ f:\Lambda\rightarrow\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda};\forall\lambda\in\Lambda\setminus\left\{ \lambda_{0}\right\} ,f\left(\lambda\right)\in A_{\lambda}\land\bot\right\} \\ & =\left\{ f:\Lambda\rightarrow\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda};\bot\right\} \\ & =\emptyset \end{align*} となる。
\(A=\left\{ a_{1},a_{2}\right\} ,B=\left\{ b_{1},b_{2}\right\} \)とすると、
\begin{align*} A\times B & =\left\{ a_{1},a_{2}\right\} \times\left\{ b_{1},b_{2}\right\} \\ & =\left\{ \left(a,b\right);a\in\left\{ a_{1},a_{2}\right\} \land b\in\left\{ b_{1},b_{2}\right\} \right\} \\ & =\left\{ \left(a_{1},b_{1}\right),\left(a_{1},b_{2}\right),\left(a_{2},b_{1}\right),\left(a_{2},b_{2}\right)\right\} \end{align*} となる。
\begin{align*} A\times B & =\left\{ a_{1},a_{2}\right\} \times\left\{ b_{1},b_{2}\right\} \\ & =\left\{ \left(a,b\right);a\in\left\{ a_{1},a_{2}\right\} \land b\in\left\{ b_{1},b_{2}\right\} \right\} \\ & =\left\{ \left(a_{1},b_{1}\right),\left(a_{1},b_{2}\right),\left(a_{2},b_{1}\right),\left(a_{2},b_{2}\right)\right\} \end{align*} となる。
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2つの集合族同士の演算
\[
\left(\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cap\left(\prod_{\mu\in\Lambda}B_{\mu}\right)=\prod_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\cap B_{\lambda}\right)
\]
和集合・積集合の元とそれぞれの集合との関係
\[
a\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\Leftrightarrow\bigvee_{\lambda\in\Lambda}a\in A_{\lambda}
\]
直積集合の性質
\[
\left(A\times B\right)^{c}=\left(A^{c}\times B^{c}\right)\cup\left(A^{c}\times B\right)\cup\left(A\times B^{c}\right)
\]
配置集合
\[
B^{A}
\]