和集合・積集合から成り立つ関係
全体集合を\(X\)として、部分集合を\(A,B,C\subseteq X\)とする。
全体集合を\(X\)として、部分集合を\(A,B,C\subseteq X\)とする。
(1)
\[ A\cap B=C\Rightarrow A\cup B^{c}=C\cup B^{c} \] 逆は一般的に成り立たない。(2)
\[ A\cap B=C\Rightarrow A\cap B^{c}=A\cap C^{c} \] 逆は一般的に成り立たない。(3)
\[ A\cup B=C\Rightarrow A\cup B^{c}=A\cup C^{c} \] 逆は一般的に成り立たない。(4)
\[ A\cup B=C\Rightarrow A\cap B^{c}=C\cap B^{c} \] 逆は一般的に成り立たない。(1)
\(\Rightarrow\)
\begin{align*} A\cup B^{c} & =\left(A\cap B\right)\cup B^{c}\\ & =C\cup B^{c} \end{align*}逆は一般的に成り立たない。
\begin{align*} A\cap B & =\left(A\cup B^{c}\right)\cap B\\ & =\left(C\cup B^{c}\right)\cap B\\ & =C\cap B\\ & \ne C \end{align*}-
従って題意は成り立つ。(2)
\(\Rightarrow\)
\begin{align*} A\cap B^{c} & =A\cap\left(A^{c}\cup B^{c}\right)\\ & =A\cap\left(A\cap B\right)^{c}\\ & =A\cap C^{c} \end{align*}逆は一般的に成り立たない。
\begin{align*} A\cap B & =A\cap\left(A^{c}\cup B\right)\\ & =A\cap\left(A\cap B^{c}\right)^{c}\\ & =A\cap\left(A\cap C^{c}\right)^{c}\\ & =A\cap\left(A^{c}\cup C\right)\\ & =A\cap C\\ & \ne C \end{align*}-
従って題意は成り立つ。(3)
\(\Rightarrow\)
\begin{align*} A\cup B^{c} & =A\cup\left(A^{c}\cap B^{c}\right)\\ & =A\cup\left(A\cup B\right)^{c}\\ & =A\cup C^{c} \end{align*}逆は一般的に成り立たない。
\begin{align*} A\cup B & =A\cup\left(A^{c}\cap B\right)\\ & =A\cup\left(A\cup B^{c}\right)^{c}\\ & =A\cup\left(A\cup C^{c}\right)^{c}\\ & =A\cup\left(A^{c}\cap C\right)\\ & =A\cup C\\ & \ne C \end{align*}-
従って題意は成り立つ。(4)
\(\Rightarrow\)
\begin{align*} A\cap B^{c} & =\left(A\cup B\right)\cap B^{c}\\ & =C\cap B^{c} \end{align*}逆は一般的に成り立たない。
\begin{align*} A\cap B & =\left(A\cup B^{c}\right)\cap B\\ & =\left(C\cap B^{c}\right)\cap B\\ & =C\cap B\\ & \ne C \end{align*}-
従って題意は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 和集合・積集合から成り立つ関係 |
| URL | https://www.nomuramath.com/vt5y0beo/ |
| SNSボタン |
2つの集合族同士の演算
\[
\left(\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cap\left(\prod_{\mu\in\Lambda}B_{\mu}\right)=\prod_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\cap B_{\lambda}\right)
\]
和集合・積集合の元とそれぞれの集合との関係
\[
a\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\Leftrightarrow\bigvee_{\lambda\in\Lambda}a\in A_{\lambda}
\]
直積集合の性質
\[
\left(A\times B\right)^{c}=\left(A^{c}\times B^{c}\right)\cup\left(A^{c}\times B\right)\cup\left(A\times B^{c}\right)
\]
直積集合の定義
\[
A\times B:=\left\{ \left(a,b\right);a\in A\land b\in B\right\}
\]