和集合・積集合から成り立つ関係
全体集合を\(X\)として、部分集合を\(A,B,C\subseteq X\)とする。
全体集合を\(X\)として、部分集合を\(A,B,C\subseteq X\)とする。
(1)
\[ A\cap B=C\Rightarrow A\cup B^{c}=C\cup B^{c} \] 逆は一般的に成り立たない。(2)
\[ A\cap B=C\Rightarrow A\cap B^{c}=A\cap C^{c} \] 逆は一般的に成り立たない。(3)
\[ A\cup B=C\Rightarrow A\cup B^{c}=A\cup C^{c} \] 逆は一般的に成り立たない。(4)
\[ A\cup B=C\Rightarrow A\cap B^{c}=C\cap B^{c} \] 逆は一般的に成り立たない。(1)
\(\Rightarrow\)
\begin{align*} A\cup B^{c} & =\left(A\cap B\right)\cup B^{c}\\ & =C\cup B^{c} \end{align*}逆は一般的に成り立たない。
\begin{align*} A\cap B & =\left(A\cup B^{c}\right)\cap B\\ & =\left(C\cup B^{c}\right)\cap B\\ & =C\cap B\\ & \ne C \end{align*}-
従って題意は成り立つ。(2)
\(\Rightarrow\)
\begin{align*} A\cap B^{c} & =A\cap\left(A^{c}\cup B^{c}\right)\\ & =A\cap\left(A\cap B\right)^{c}\\ & =A\cap C^{c} \end{align*}逆は一般的に成り立たない。
\begin{align*} A\cap B & =A\cap\left(A^{c}\cup B\right)\\ & =A\cap\left(A\cap B^{c}\right)^{c}\\ & =A\cap\left(A\cap C^{c}\right)^{c}\\ & =A\cap\left(A^{c}\cup C\right)\\ & =A\cap C\\ & \ne C \end{align*}-
従って題意は成り立つ。(3)
\(\Rightarrow\)
\begin{align*} A\cup B^{c} & =A\cup\left(A^{c}\cap B^{c}\right)\\ & =A\cup\left(A\cup B\right)^{c}\\ & =A\cup C^{c} \end{align*}逆は一般的に成り立たない。
\begin{align*} A\cup B & =A\cup\left(A^{c}\cap B\right)\\ & =A\cup\left(A\cup B^{c}\right)^{c}\\ & =A\cup\left(A\cup C^{c}\right)^{c}\\ & =A\cup\left(A^{c}\cap C\right)\\ & =A\cup C\\ & \ne C \end{align*}-
従って題意は成り立つ。(4)
\(\Rightarrow\)
\begin{align*} A\cap B^{c} & =\left(A\cup B\right)\cap B^{c}\\ & =C\cap B^{c} \end{align*}逆は一般的に成り立たない。
\begin{align*} A\cap B & =\left(A\cup B^{c}\right)\cap B\\ & =\left(C\cap B^{c}\right)\cap B\\ & =C\cap B\\ & \ne C \end{align*}-
従って題意は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 和集合・積集合から成り立つ関係 |
| URL | https://www.nomuramath.com/vt5y0beo/ |
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集合列と非交和
\[
\bigcup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }A_{k}=\bigsqcup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\left(A_{k}\setminus\bigcup_{j=1}^{k-1}A_{j}\right)
\]
集合列と和集合・積集合
\[
\bigcap_{1\leq j<k\leq n}\left(A_{j}\cup A_{k}\right)=\bigcup_{1\leq j\leq n}\bigcap_{1\leq k\leq n,k\ne j}A_{k}
\]
単調増加列・単調減少列同士の積集合と和集合
\[
A_{k}\nearrow_{k\in\mathbb{N}},B_{k}\nearrow_{k\in\mathbb{N}}\Rightarrow\bigcup_{k=1}^{\infty}\left(A_{k}\cap B_{k}\right)=\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\cap\bigcup_{k=1}^{\infty}B_{k}
\]
集合列の和集合と積集合の包含関係
\[
\forall m,n\in\mathbb{N},\bigcap_{k=m}^{\infty}A_{k}\subseteq\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}
\]