否定包含関係を含む式
全体集合を\(X\)として、その部分集合を\(A,B,C\subseteq X\) とする。
全体集合を\(X\)として、その部分集合を\(A,B,C\subseteq X\) とする。
(1)定義
\begin{align*} A\nsubseteq B & :\Leftrightarrow\lnot\left(A\subseteq B\right)\\ & \Leftrightarrow\exists a\in A,a\notin B \end{align*}(2)
\[ A\ne B\Leftrightarrow A\nsubseteq B\lor A\nsupseteq B \](3)
\[ A\nsubseteq A\Leftrightarrow\bot \](4)
\[ A\nsubseteq\emptyset\Leftrightarrow A\ne\emptyset \](5)
\[ \emptyset\nsubseteq A\Leftrightarrow\bot \](6)
\[ A\nsubseteq X\Leftrightarrow\bot \](7)
\begin{align*} X\nsubseteq A & \Leftrightarrow A\ne X \end{align*}(8)
\begin{align*} A\nsubseteq B & \Leftrightarrow B^{c}\nsubseteq A^{c}\\ & \Leftrightarrow A\cap B^{c}\ne\emptyset\\ & \Leftrightarrow B\subsetneq B\cup A\\ & \Leftrightarrow A\cap B\subsetneq A\\ & \Leftrightarrow A\setminus B\ne\emptyset \end{align*}(1)
\begin{align*} A\nsubseteq B & \Leftrightarrow\lnot\left(A\subseteq B\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\forall a\in A,a\in B\right)\\ & \Leftrightarrow\exists a\in A,a\notin B \end{align*}(2)
\begin{align*} A\ne B & \Leftrightarrow\lnot\left(A=B\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(A\subseteq B\land A\supseteq B\right)\\ & \Leftrightarrow A\nsubseteq B\lor A\nsupseteq B \end{align*}(3)
\begin{align*} A\nsubseteq A & \Leftrightarrow\lnot\left(A\subseteq A\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(A=A\right)\\ & \Leftrightarrow A\ne A\\ & \Leftrightarrow\bot \end{align*}(4)
\begin{align*} A\nsubseteq\emptyset & \Leftrightarrow\lnot\left(A\subseteq\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(A=\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow A\ne\emptyset \end{align*}(5)
\begin{align*} \emptyset\nsubseteq A & \Leftrightarrow\lnot\left(\emptyset\subseteq A\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\top\\ & \Leftrightarrow\bot \end{align*}(6)
\begin{align*} A\nsubseteq X & \Leftrightarrow\lnot\left(A\subseteq X\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\top\\ & \Leftrightarrow\bot \end{align*}(7)
\begin{align*} X\nsubseteq A & \Leftrightarrow\lnot\left(X\subseteq A\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(A=X\right)\\ & \Leftrightarrow A\ne X \end{align*}(8)
\begin{align*} A\nsubseteq B & \Leftrightarrow\lnot\left(A\subseteq B\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(B^{c}\subseteq A^{c}\right)\\ & \Leftrightarrow B^{c}\nsubseteq A^{c} \end{align*} \begin{align*} A\nsubseteq B & \Leftrightarrow\lnot\left(A\subseteq B\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(A\cap B^{C}=\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow A\cap B^{c}\ne\emptyset \end{align*} \begin{align*} A\nsubseteq B & \Leftrightarrow\lnot\left(A\subseteq B\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(B=B\cup A\right)\\ & \Leftrightarrow B\ne B\cup A\\ & \Leftrightarrow B\ne B\cup A\land B\subseteq B\cup A\\ & \Leftrightarrow B\subsetneq B\cup A \end{align*} \begin{align*} A\nsubseteq B & \Leftrightarrow\lnot\left(A\subseteq B\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(A\cap B=A\right)\\ & \Leftrightarrow A\cap B\ne A\\ & \Leftrightarrow A\cap B\ne A\land A\cap B\subseteq A\\ & \Leftrightarrow A\cap B\subsetneq A \end{align*} \begin{align*} A\nsubseteq B & \Leftrightarrow\lnot\left(A\subseteq B\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(A\setminus B=\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow A\setminus B\ne\emptyset \end{align*}(8)-2
\begin{align*} A\nsubseteq B & \Leftrightarrow\lnot\left(A\subseteq B\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(a\in A\rightarrow a\in B\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(a\in A^{c}\leftarrow a\in B^{c}\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(B^{c}\subseteq A^{c}\right)\\ & \Leftrightarrow B^{c}\nsubseteq A^{c} \end{align*} \begin{align*} A\nsubseteq B & \Leftrightarrow\exists a\in A,a\notin B\\ & \Leftrightarrow\exists a\in A,a\in B^{c}\\ & \Leftrightarrow A\cap B^{c}\ne\emptyset \end{align*} \begin{align*} A\nsubseteq B & \Leftrightarrow\exists a\in A,a\notin B\\ & \Leftrightarrow B\ne B\cup A\\ & \Leftrightarrow B\subseteq B\cup A\land B\ne B\cup A\\ & \Leftrightarrow B\subsetneq B\cup A \end{align*} \begin{align*} A\nsubseteq B & \Leftrightarrow\exists a\in A,a\notin B\\ & \Leftrightarrow A\cap B\ne A\\ & \Leftrightarrow A\cap B\subseteq A\land A\cap B\ne A\\ & \Leftrightarrow A\cap B\subsetneq A \end{align*} \begin{align*} A\nsubseteq B & \Leftrightarrow\exists a\in A,a\notin B\\ & \Leftrightarrow A\setminus B\ne\emptyset \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 否定包含関係を含む式 |
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2つの集合族同士の演算
\[
\left(\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cap\left(\prod_{\mu\in\Lambda}B_{\mu}\right)=\prod_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\cap B_{\lambda}\right)
\]
和集合・積集合の元とそれぞれの集合との関係
\[
a\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\Leftrightarrow\bigvee_{\lambda\in\Lambda}a\in A_{\lambda}
\]
直積集合の性質
\[
\left(A\times B\right)^{c}=\left(A^{c}\times B^{c}\right)\cup\left(A^{c}\times B\right)\cup\left(A\times B^{c}\right)
\]
直積集合の定義
\[
A\times B:=\left\{ \left(a,b\right);a\in A\land b\in B\right\}
\]