否定包含関係を含む式
全体集合を\(X\)として、その部分集合を\(A,B,C\subseteq X\) とする。
全体集合を\(X\)として、その部分集合を\(A,B,C\subseteq X\) とする。
(1)定義
\begin{align*} A\nsubseteq B & :\Leftrightarrow\lnot\left(A\subseteq B\right)\\ & \Leftrightarrow\exists a\in A,a\notin B \end{align*}(2)
\[ A\ne B\Leftrightarrow A\nsubseteq B\lor A\nsupseteq B \](3)
\[ A\nsubseteq A\Leftrightarrow\bot \](4)
\[ A\nsubseteq\emptyset\Leftrightarrow A\ne\emptyset \](5)
\[ \emptyset\nsubseteq A\Leftrightarrow\bot \](6)
\[ A\nsubseteq X\Leftrightarrow\bot \](7)
\begin{align*} X\nsubseteq A & \Leftrightarrow A\ne X \end{align*}(8)
\begin{align*} A\nsubseteq B & \Leftrightarrow B^{c}\nsubseteq A^{c}\\ & \Leftrightarrow A\cap B^{c}\ne\emptyset\\ & \Leftrightarrow B\subsetneq B\cup A\\ & \Leftrightarrow A\cap B\subsetneq A\\ & \Leftrightarrow A\setminus B\ne\emptyset \end{align*}(1)
\begin{align*} A\nsubseteq B & \Leftrightarrow\lnot\left(A\subseteq B\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\forall a\in A,a\in B\right)\\ & \Leftrightarrow\exists a\in A,a\notin B \end{align*}(2)
\begin{align*} A\ne B & \Leftrightarrow\lnot\left(A=B\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(A\subseteq B\land A\supseteq B\right)\\ & \Leftrightarrow A\nsubseteq B\lor A\nsupseteq B \end{align*}(3)
\begin{align*} A\nsubseteq A & \Leftrightarrow\lnot\left(A\subseteq A\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(A=A\right)\\ & \Leftrightarrow A\ne A\\ & \Leftrightarrow\bot \end{align*}(4)
\begin{align*} A\nsubseteq\emptyset & \Leftrightarrow\lnot\left(A\subseteq\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(A=\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow A\ne\emptyset \end{align*}(5)
\begin{align*} \emptyset\nsubseteq A & \Leftrightarrow\lnot\left(\emptyset\subseteq A\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\top\\ & \Leftrightarrow\bot \end{align*}(6)
\begin{align*} A\nsubseteq X & \Leftrightarrow\lnot\left(A\subseteq X\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\top\\ & \Leftrightarrow\bot \end{align*}(7)
\begin{align*} X\nsubseteq A & \Leftrightarrow\lnot\left(X\subseteq A\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(A=X\right)\\ & \Leftrightarrow A\ne X \end{align*}(8)
\begin{align*} A\nsubseteq B & \Leftrightarrow\lnot\left(A\subseteq B\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(B^{c}\subseteq A^{c}\right)\\ & \Leftrightarrow B^{c}\nsubseteq A^{c} \end{align*} \begin{align*} A\nsubseteq B & \Leftrightarrow\lnot\left(A\subseteq B\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(A\cap B^{C}=\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow A\cap B^{c}\ne\emptyset \end{align*} \begin{align*} A\nsubseteq B & \Leftrightarrow\lnot\left(A\subseteq B\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(B=B\cup A\right)\\ & \Leftrightarrow B\ne B\cup A\\ & \Leftrightarrow B\ne B\cup A\land B\subseteq B\cup A\\ & \Leftrightarrow B\subsetneq B\cup A \end{align*} \begin{align*} A\nsubseteq B & \Leftrightarrow\lnot\left(A\subseteq B\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(A\cap B=A\right)\\ & \Leftrightarrow A\cap B\ne A\\ & \Leftrightarrow A\cap B\ne A\land A\cap B\subseteq A\\ & \Leftrightarrow A\cap B\subsetneq A \end{align*} \begin{align*} A\nsubseteq B & \Leftrightarrow\lnot\left(A\subseteq B\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(A\setminus B=\emptyset\right)\\ & \Leftrightarrow A\setminus B\ne\emptyset \end{align*}(8)-2
\begin{align*} A\nsubseteq B & \Leftrightarrow\lnot\left(A\subseteq B\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(a\in A\rightarrow a\in B\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(a\in A^{c}\leftarrow a\in B^{c}\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(B^{c}\subseteq A^{c}\right)\\ & \Leftrightarrow B^{c}\nsubseteq A^{c} \end{align*} \begin{align*} A\nsubseteq B & \Leftrightarrow\exists a\in A,a\notin B\\ & \Leftrightarrow\exists a\in A,a\in B^{c}\\ & \Leftrightarrow A\cap B^{c}\ne\emptyset \end{align*} \begin{align*} A\nsubseteq B & \Leftrightarrow\exists a\in A,a\notin B\\ & \Leftrightarrow B\ne B\cup A\\ & \Leftrightarrow B\subseteq B\cup A\land B\ne B\cup A\\ & \Leftrightarrow B\subsetneq B\cup A \end{align*} \begin{align*} A\nsubseteq B & \Leftrightarrow\exists a\in A,a\notin B\\ & \Leftrightarrow A\cap B\ne A\\ & \Leftrightarrow A\cap B\subseteq A\land A\cap B\ne A\\ & \Leftrightarrow A\cap B\subsetneq A \end{align*} \begin{align*} A\nsubseteq B & \Leftrightarrow\exists a\in A,a\notin B\\ & \Leftrightarrow A\setminus B\ne\emptyset \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 否定包含関係を含む式 |
| URL | https://www.nomuramath.com/juwkgwrz/ |
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集合列と非交和
\[
\bigcup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }A_{k}=\bigsqcup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\left(A_{k}\setminus\bigcup_{j=1}^{k-1}A_{j}\right)
\]
集合列と和集合・積集合
\[
\bigcap_{1\leq j<k\leq n}\left(A_{j}\cup A_{k}\right)=\bigcup_{1\leq j\leq n}\bigcap_{1\leq k\leq n,k\ne j}A_{k}
\]
単調増加列・単調減少列同士の積集合と和集合
\[
A_{k}\nearrow_{k\in\mathbb{N}},B_{k}\nearrow_{k\in\mathbb{N}}\Rightarrow\bigcup_{k=1}^{\infty}\left(A_{k}\cap B_{k}\right)=\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\cap\bigcup_{k=1}^{\infty}B_{k}
\]
集合列の和集合と積集合の包含関係
\[
\forall m,n\in\mathbb{N},\bigcap_{k=m}^{\infty}A_{k}\subseteq\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}
\]