背番号を付けて一列に並ぶ

まず一番後ろの人の背番号は100人のうちの誰にも見えないので分かりません。
すなわち偶然を除き100人全員が正解することは不可能です。
100番目の人には1から99番目の人の背番号が全て見えているので、その全てを足して100で割った余りを全員に聞こえるように言います。
ただし、余りが0のときは100とします。
99番目の人には1から98番目の人の背番号が見えていて、1から99番目の人の背番号の合計を100で割った余りも知っています。
これより、99番目の人は自分の背番号を計算で求めることができます。
次に98番目の人には1から97番目の人の背番号が見えていて、99番目の人の背番号と1から99番目の人の背番号の合計を100で割った余りを知っています。
これより、98番目の人は自分の背番号を計算で求めることができます。
同様にすると、\(100-k\)番目の人は1から\(99-k\)番目の人の背番号が見えていて、\(101-k\)から99番目の人の背番号と1から99番目の人の背番号の合計を100で割った余りを知っています。
これより、\(100-k\)番目の人は自分の背番号を計算で求めることができます。
このようにすれば99人が正解することができます。