偏角・対数と絶対値
偏角・対数と絶対値
\(\alpha\ne0\)とする。
\(\alpha\ne0\)とする。
(1)
\[ \Arg\left(\left|\alpha\right|\beta\right)=\Arg\beta \](2)
\[ \Log\left(\left|\alpha\right|\beta\right)=\ln\left|\alpha\right|+\Log\beta \](1)
\begin{align*} \Arg\left(\left|\alpha\right|\beta\right) & =-i\Log\left(\sgn\left(\left|\alpha\right|\beta\right)\right)\\ & =-i\Log\left(\sgn\left(\beta\right)\right)\\ & =\Arg\beta \end{align*}(2)
\begin{align*} \Log\left(\left|\alpha\right|\beta\right) & =\ln\left|\left|\alpha\right|\beta\right|+\Log\sgn\left(\left|\alpha\right|\beta\right)\\ & =\ln\left|\alpha\right|+\ln\left|\beta\right|+\Log\sgn\left(\beta\right)\\ & =\ln\left|\alpha\right|+\Log\beta \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 偏角・対数と絶対値 |
| URL | https://www.nomuramath.com/wrmjwxo9/ |
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0の極限のべき乗と0の極限乗
\[
\lim_{z\rightarrow0}z^{\alpha}=\begin{cases}
0 & 0<\Re\left(\alpha\right)\\
1 & \alpha=0\\
\text{発散} & \Re\left(\alpha\right)<0\lor\left(\Re\left(\alpha\right)=0\land\Im\left(\alpha\right)\ne0\right)
\end{cases}
\]
積が非負実数のべき乗
\[
\left(\Arg\left(\alpha\right)\ne\pi\lor\Arg\left(\beta\right)\ne\pi\right)\land0\leq a\beta\rightarrow\left(\alpha\beta\right)^{\gamma}=\alpha^{\gamma}\beta^{\gamma}
\]
指数関数の実部と虚部
\[
\left|\alpha^{\beta}\right|=\left|\alpha\right|^{\Re\left(\beta\right)}e^{-\Im\left(\beta\right)\Arg\left(\alpha\right)}
\]
対数の指数exp(Log(z))と指数の対数Log(exp(z))の違い
\[
\Re\left(z\right)+i\mod\left(\Im\left(z\right),-2\pi,\pi\right)=\Log\left(\exp\left(z\right)\right)
\]