狭義半順序関係の性質

(1)

狭義半順序関係(非反射律・推移律)を満たすとき非対称律も満たす。

(2)

狭義半順序関係を満たすとき$aRb\land bRa\Leftrightarrow\bot$と$aRb\land a=b\Leftrightarrow\bot$が成り立つ。

(3)

狭義半順序関係を満たすとき3分律は$aRb\lor bRa\lor a=b$のみを満たせばいい。

(1)

非反射律・推移律を満たすとき、
\begin{align*} \top & \Leftrightarrow aRb\land bRa\rightarrow aRa\\ & \Leftrightarrow aRb\land bRa\rightarrow\bot\\ & \Leftrightarrow aRb\rightarrow\bot\lor\lnot\left(bRa\right)\\ & \Leftrightarrow aRb\rightarrow\lnot\left(bRa\right) \end{align*} となるので、非対称律も満たす。

(2)

推移律より、
\begin{align*} aRb\land bRa & \Rightarrow aRa\\ & \Leftrightarrow\bot \end{align*} となり$aRb\land bRa\Rightarrow\bot$となるので、$aRb\land bRa\Leftrightarrow\bot$となる。
非反射律より、
\begin{align*} aRb\land a=b & \Leftrightarrow aRa\land a=b\\ & \Leftrightarrow\bot \end{align*} となる。
これらより、題意は成り立つ。

(3)

3分律を満たすためには$aRb,bRa,a=b$の3つのうち1つのみが真にならなければいけない。
しかし、(2)より、
\begin{align*} & \left(aRb\lor bRa\lor a=b\right)\land\lnot\left(aRb\land bRa\right)\land\lnot\left(aRb\land a=b\right)\land\lnot\left(bRa\land a=b\right)\\ \Leftrightarrow & \left(aRb\lor bRa\lor a=b\right)\land\top\land\top\land\top\\ \Leftrightarrow & aRb\lor bRa\lor a=b \end{align*} となるので$aRb\lor bRa\lor a=b$のみが成り立てばいい。

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タイトル	狭義半順序関係の性質
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