ハイパー演算子の優先順位
ハイパー演算子の優先順位
ハイパー演算子の結合性を左結合にしたものを
\begin{align*} I_{n+1}\left(a,b\right) & =a_{\left(n+1\right)}b\\ & =\underbrace{\left(\left(a^{\left(n\right)}a\right)^{\left(n\right)}\cdots a\right)^{\left(n\right)}a}_{b\;copies\;of\;a} \end{align*} で定義すると、
\[ I_{n+1}\left(a,b\right)=I_{n+1}\left(a,b-1\right)^{\left(n\right)}a \] となる。
ハイパー演算子の結合性を左結合にしたものを
\begin{align*} I_{n+1}\left(a,b\right) & =a_{\left(n+1\right)}b\\ & =\underbrace{\left(\left(a^{\left(n\right)}a\right)^{\left(n\right)}\cdots a\right)^{\left(n\right)}a}_{b\;copies\;of\;a} \end{align*} で定義すると、
\[ I_{n+1}\left(a,b\right)=I_{n+1}\left(a,b-1\right)^{\left(n\right)}a \] となる。
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\(a^{\left(n\right)}b\)はハイパー演算子\begin{align*}
I_{n+1}\left(a,b\right) & =\underbrace{\left(\left(a^{\left(n\right)}a\right)^{\left(n\right)}\cdots a\right)^{\left(n\right)}a}_{b\;copies\;of\;a}\\
& =I_{n+1}\left(a,b-1\right)^{\left(n\right)}a
\end{align*}
ページ情報
タイトル | ハイパー演算子の優先順位 |
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ハイバー演算子とクヌースの矢印表記の関係
\[
H_{n}\left(a,b\right)=a\uparrow^{n-2}b\;,\;n\in\mathbb{Z}
\]
クヌースの矢印表記の定義
\[
a\uparrow^{n}b:=\begin{cases}
ab & n=0\\
1 & n\geq1\;\land\;b=0\\
\underbrace{a\uparrow^{n-1}a\uparrow^{n-1}\cdots\uparrow^{n-1}a}_{b\;copies\;of\;a} & otherwise
\end{cases}
\]
ハイパー演算子の結合法則
\[
a^{\left(n\right)}\left(b^{\left(n\right)}c\right)\ne\left(a^{\left(n\right)}b\right)^{\left(n\right)}c
\]
コンウェイのチェーン表記の定義
\[
X\rightarrow\left(a+1\right)\rightarrow\left(b+1\right)=X\rightarrow\left\{ X\rightarrow a\rightarrow\left(b+1\right)\right\} \rightarrow b
\]