逆数の偏角と対数

by nomura · 2021年6月3日

逆数の偏角と対数

(1)

\[ \Arg z^{-1}=-\Arg z+2\pi\delta_{\pi,\Arg\left(z\right)} \]

(2)

\[ \Log z^{-1}=-\Log z+2\pi i\delta_{\pi,\Arg\left(z\right)} \]

-

\(\delta_{ij}\)はクロネッカーのデルタ

(1)

\begin{align*} \Arg z^{-1} & =\Arg\left(\left|z\right|e^{i\Arg z}\right)^{-1}\\ & =\Arg e^{-i\Arg z}\\ & =\mod\left(-\Arg z,-2\pi,\pi\right)\\ & =-\mod\left(\Arg z+2\pi,-2\pi,\pi\right)-2\pi\left|\sgn\left\{ \mod\left(\Arg z+2\pi,-2\pi,\pi\right)-\pi\right\} \right|+2\pi\\ & =-\Arg z-2\pi\left|\sgn\left(\Arg z-\pi\right)\right|+2\pi\\ & =-\Arg z+2\pi\left(1-\left|\sgn\left(\Arg z-\pi\right)\right|\right)\\ & =-\Arg z+2\pi\delta_{\pi,\Arg z} \end{align*}

(1)-2

\begin{align*} \Arg z^{-1} & =\Arg\left(\left|z\right|e^{i\Arg z}\right)^{-1}\\ & =\Arg e^{-i\Arg z}\\ & =-\Arg e^{i\Arg z}+2\pi\delta_{\pi,\Arg\left(z\right)}\\ & =-\Arg\left(\left|z\right|e^{i\Arg z}\right)+2\pi\delta_{\pi,\Arg\left(z\right)}\\ & =-\Arg z+2\pi\delta_{\pi,\Arg\left(z\right)} \end{align*}

(2)

\begin{align*} \Log z^{-1} & =\ln\left|z^{-1}\right|+i\Arg\left(z^{-1}\right)\\ & =-\ln\left|z\right|+i\Arg\left(z^{-1}\right)\\ & =-\ln\left|z\right|+i\left(-\Arg z+2\pi\delta_{\pi,\Arg\left(z\right)}\right)\\ & =-\left(\ln\left|z\right|+i\Arg z\right)+2\pi i\delta_{\pi,\Arg\left(z\right)}\\ & =-\Log z+2\pi i\delta_{\pi,\Arg\left(z\right)} \end{align*}