対数と偏角の基本
対数と偏角の基本
(1)定義
\[ \arg z=\Arg z+\arg1 \](2)定義
\[ \log z=\exp^{\bullet}z \](3)
\[ \log z=\ln\left|z\right|+i\arg z \](4)定義
\[ \Log z=\ln\left|z\right|+i\Arg z \](5)
\[ \log1=i\arg1 \](6)
\[ \log z=\Log z+\log1 \](3)
\(w=e^{z}\)は\begin{align*} \left|w\right|e^{i\arg w} & =e^{\Re(z)}e^{i\Im(z)} \end{align*} これより、絶対値と偏角を比べると、
\[ \begin{cases} \Re(z)=\ln\left|w\right|\\ \Im(z)=\arg w \end{cases} \] となるので、
\begin{align*} \log w & =\exp^{\bullet}(w)\\ & =z\\ & =\Re(z)+i\Im(z)\\ & =\ln\left|w\right|+i\arg w \end{align*} これより、
\begin{align*} \log z & =\ln\left|z\right|+i\arg z \end{align*}
(5)
\begin{align*} \log1 & =\left\{ 2\pi ni;n\in\mathbb{Z}\right\} \\ & =i\left\{ 2\pi n;n\in\mathbb{Z}\right\} \\ & =i\arg1 \end{align*}(6)
\begin{align*} \log z & =\ln\left|z\right|+i\arg z\\ & =\ln\left|z\right|+i\left(\Arg z+\arg1\right)\\ & =\ln\left|z\right|+i\Arg z+i\arg1\\ & =\Log z+\log1 \end{align*}ページ情報
タイトル | 対数と偏角の基本 |
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複素数の冪関数の定義
\[
\alpha^{\beta}=e^{\beta\log\alpha}
\]
符号関数の偏角・対数
\[
\Log\sgn\alpha=i\Arg\alpha
\]
対数の指数exp(Log(z))と指数の対数Log(exp(z))の違い
\[
\Re\left(z\right)+i\mod\left(\Im\left(z\right),-2\pi,\pi\right)=\Log\left(\exp\left(z\right)\right)
\]
逆数の偏角と対数
\[
\Arg z^{-1}=-\Arg z+2\pi\delta_{\pi,\Arg\left(z\right)}
\]