\(n=1\)のとき

\(n=1\)のときは\(F=\left(f_{1}\right):\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C},x\mapsto f_{1}\left(x\right)\)であり、\(F\left(x\right)\)は\(\mathbb{C}\)上の多項式であるので、ある\(m\in\mathbb{N}_{0}\)が存在し、\(F\left(x\right)=f_{1}\left(x\right)=\sum_{k\in\left\{ 0,1,\cdots,m\right\} }a_{k}x^{k}\)となる。
このとき、
\begin{align*} \mathbb{C}\setminus\left\{ 0\right\} & \ni\det\left(\frac{\partial f_{1}}{\partial x}\right)\\ & =\frac{df_{1}\left(x\right)}{dx}\\ & =\frac{d}{dx}\sum_{k\in\left\{ 0,1,\cdots,m\right\} }a_{k}x^{k}\\ & =\sum_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,m\right\} }ka_{k}x^{k-1} \end{align*} となり、これが任意の\(x\in\mathbb{C}\)について成り立つには、\(a_{1}\in\mathbb{C}\setminus\left\{ 0\right\} \)かつ\(m=1\)となる。
従って、
\begin{align*} F\left(x\right) & =f_{1}\left(x\right)\\ & =\sum_{k\in\left\{ 0,1,\cdots,m\right\} }a_{k}x^{k}\\ & =\sum_{k\in\left\{ 0,1\right\} }a_{k}x^{k}\\ & =a_{0}+a_{1}x \end{align*} となる。
次に\(F\)が全単射を満たすことを示す。
\(F\left(x_{1}\right)=F\left(x_{2}\right)\)とすると、\(a_{0}+a_{1}x_{1}=F\left(x_{1}\right)=F\left(x_{2}\right)=a_{0}+a_{1}x_{2}\)となり、移項すると\(a_{1}\left(x_{1}-x_{2}\right)=0\)となり、\(a_{1}\ne0\)なので\(x_{1}-x_{2}=0\)となり\(x_{1}=x_{2}\)となるので\(F\)は単射となる。
また、任意の\(y\in\mathbb{C}\)について、\(F\left(x\right)=y\)を満たすとすると\(a_{0}+a_{1}x=F\left(x\right)=y\)となり、\(a_{1}\ne0\)なので\(x=\frac{y-a_{0}}{a_{1}}\in\mathbb{C}\)となり、\(F\left(\frac{y-a_{0}}{a_{1}}\right)=a_{0}+a_{1}\frac{y-a_{0}}{a_{1}}=y\)となるので、\(F\)は全射となる。
従って、\(F\)は単射かつ全射となるので全単射となる。
また、逆写像\(f^{\bullet}:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}\)は\(f\left(x\right)=y\)として、\(a_{0}+a_{1}x=F\left(x\right)=y\)を\(x\)について解くと、\(x=\frac{y-a_{0}}{a_{1}}\)となり、逆写像は\(F^{\bullet}\left(y\right)=\frac{y-a_{0}}{a_{1}}=\frac{1}{a_{1}}y-\frac{a_{0}}{a_{1}}\)となり、\(y\)に関する1次多項式となる。
従って\(n=1\)のときは成り立つ。

\(n=3\)のとき

\(n=3\)のときはヤコビアン予想は成り立たず反例は
\[ F\left(\begin{array}{c} x\\ y\\ z \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} f_{1}\left(x,y,z\right)^{T}\\ f_{2}\left(x,y,z\right)^{T}\\ f_{3}\left(x,y,z\right)^{T} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} \left(1+xy\right)^{3}z+y^{2}\left(1+xy\right)\left(4+3xy\right)\\ y+3x\left(1+xy\right)^{2}z+3xy^{2}\left(4+3xy\right)\\ 2x-3x^{2}y-x^{3}z \end{array}\right) \] となることを確認する。
このとき、
\begin{align*} \det\left(\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}\right)_{i,j} & =\det\left(\begin{array}{ccc} \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{2}} & \frac{\partial f_{1}}{\partial x_{3}}\\ \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{2}} & \frac{\partial f_{2}}{\partial x_{3}}\\ \frac{\partial f_{3}}{\partial x_{1}} & \frac{\partial f_{3}}{\partial x_{2}} & \frac{\partial f_{3}}{\partial x_{3}} \end{array}\right)\\ & =\det\left(\begin{array}{ccc} 3y\left(1+xy\right)^{2}z+y^{2}\left(y\left(4+3xy\right)+\left(1+xy\right)3y\right) & 3x\left(1+xy\right)^{2}z+2y\left(1+xy\right)\left(4+3xy\right)+xy^{2}\left(4+3xy\right)+3xy^{2}\left(1+xy\right) & \left(1+xy\right)^{3}\\ 3\left(1+xy\right)^{2}z+6xy\left(1+xy\right)z+3y^{2}\left(4+3xy\right)+9xy^{3} & 1+6x^{2}\left(1+xy\right)z+6xy\left(4+3xy\right)+9x^{2}y^{2} & 3x\left(1+xy\right)^{2}\\ 2-6xy-3x^{2}z & -3x^{2} & -x^{3} \end{array}\right)\\ & =\det\left(\begin{array}{ccc} 3y\left(1+xy\right)^{2}z+y^{3}\left(7+6xy\right) & 3x\left(1+xy\right)^{2}z+2y\left(1+xy\right)\left(4+3xy\right)+xy^{2}\left(7+6xy\right) & \left(1+xy\right)^{3}\\ 3\left(1+xy\right)^{2}z+6xy\left(1+xy\right)z+3y^{2}\left(4+3xy\right)+9xy^{3} & 1+6x^{2}\left(1+xy\right)z+6xy\left(4+3xy\right)+9x^{2}y^{2} & 3x\left(1+xy\right)^{2}\\ 2-6xy-3x^{2}z & -3x^{2} & -x^{3} \end{array}\right)\\ & =-2\\ & \ne0 \end{align*} である。
しかし、
\begin{align*} F\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ -\frac{1}{4} \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{c} \left(1+0\right)^{3}\left(-\frac{1}{4}\right)+0\left(1+0\right)\left(0+3\cdot0\right)\\ 0+3\cdot0\left(1+0\right)^{2}0+3\cdot0\cdot y^{2}\left(4+3\cdot0\right)\\ 2\cdot0-3\cdot0-0 \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c} -\frac{1}{4}\\ 0\\ 0 \end{array}\right) \end{align*} \begin{align*} F\left(\begin{array}{c} \pm1\\ \mp\frac{3}{2}\\ \frac{13}{2} \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{c} \left(1-\frac{3}{2}\right)^{3}\frac{13}{2}+\frac{9}{4}\left(1-\frac{3}{2}\right)\left(4-3\cdot\frac{3}{2}\right)\\ \mp\frac{3}{2}+3\left(\pm1\right)\left(1-\frac{3}{2}\right)^{2}\frac{13}{2}+3\left(\pm\frac{9}{4}\right)\left(4-3\cdot\frac{3}{2}\right)\\ 2\left(\pm1\right)-3\left(\mp\frac{3}{2}\right)-\left(\pm\frac{13}{2}\right) \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c} \left(-\frac{1}{8}\right)\frac{13}{2}+\frac{9}{4}\left(-\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)\\ \mp\frac{3}{2}\pm3\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{13}{2}+3\left(\pm\frac{9}{4}\right)\left(-\frac{1}{2}\right)\\ \pm2\pm\frac{9}{2}\mp\frac{13}{2} \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c} -\frac{13}{16}+\frac{9}{16}\\ \mp\frac{3}{2}\pm\frac{39}{8}\mp\frac{27}{8}\\ \pm\frac{13}{2}\mp\frac{13}{2} \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{c} -\frac{1}{4}\\ 0\\ 0 \end{array}\right) \end{align*} となるので、\(\left(0,0,-\frac{1}{4}\right)\)と\(\left(\pm1,\mp\frac{3}{2},\frac{13}{2}\right)\)の3点は\(F\)により同じ点に写るので単射ではない。
従って\(F\)は全単射ではない。
これより、\(n=3\)のときは一般的に成り立たない。

\(n\in\left\{ 4,5,\cdots\right\} \)のとき

\(n=3\)のときはヤコビアン予想は成り立たないのでその反例を使う。
この反例は\(F:\mathbb{C}^{3}\rightarrow\mathbb{C}^{3},\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)^{T}\mapsto F\left(f_{1}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)^{T},f_{2}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)^{T},f_{3}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)^{T}\right)^{T}\)として、\(\det\left(\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}\right)=c\in\mathbb{C}\setminus\left\{ 0\right\} \)であっても\(F\)は異なる点でも写る先が一致して単射とならない点が存在するのでこの点を\(\left(a_{1},a_{2},a_{3}\right)^{T}\)と\(\left(b_{1},b_{2},b_{3}\right)^{T}\)とおく。
ここで、\(n\in\left\{ 4,5,\cdots\right\} \)のときは
\[ F\left(x_{1},x_{2},x_{3},\cdots,x_{n}\right)^{T}=\left(f_{1}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)^{T},f_{2}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)^{T},f_{3}\left(x_{1},x_{2},x_{3}\right)^{T},x_{4},x_{5},\cdots,x_{n}\right)^{T} \] とおく。
そうすると、\(n=3\)のヤコビ行列を\(J_{3}\)とおくと、
\begin{align*} \det\left(\frac{\partial f_{i}}{\partial x_{j}}\right)_{i,j} & =\det\left(\begin{array}{cc} J_{3} & O\\ O & I_{n-3} \end{array}\right)\\ & =\det\left(J_{3}\right)\det\left(I_{n-3}\right)\\ & =\det\left(J_{3}\right)\\ & \in\mathbb{C}\setminus\left\{ 0\right\} \end{align*} となる。
ここで、\(n=3\)では
\[ \begin{cases} f_{1}\left(a_{1},a_{2},a_{3}\right)^{T}=f_{1}\left(b_{1},b_{2},b_{3}\right)^{T}\\ f_{2}\left(a_{1},a_{2},a_{3}\right)^{T}=f_{2}\left(b_{1},b_{2},b_{3}\right)^{T}\\ f_{3}\left(a_{1},a_{2},a_{3}\right)^{T}=f_{3}\left(b_{1},b_{2},b_{3}\right)^{T} \end{cases} \] を満たすので、
\begin{align*} F\left(a_{1},a_{2},a_{3},0,0,\cdots,0\right)^{T} & =\left(f_{1}\left(a_{1},a_{2},a_{3}\right)^{T},f_{2}\left(a_{1},a_{2},a_{3}\right)^{T},f_{3}\left(a_{1},a_{2},a_{3}\right)^{T},0,0,\cdots,0\right)^{T}\\ & =\left(f_{1}\left(b_{1},b_{2},b_{3}\right)^{T},f_{2}\left(b_{1},b_{2},b_{3}\right)^{T},f_{3}\left(b_{1},b_{2},b_{3}\right)^{T},0,0,\cdots,0\right)^{T}\\ & =F\left(b_{1},b_{2},b_{3},0,0,\cdots,0\right)^{T} \end{align*} となる。
これより、\(F\left(a_{1},a_{2},a_{3},0,0,\cdots,0\right)^{T}=F\left(b_{1},b_{2},b_{3},0,0,\cdots,0\right)^{T}\)となるが、\(\left(a_{1},a_{2},a_{3},0,0,\cdots,0\right)^{T}\ne\left(b_{1},b_{2},b_{3},0,0,\cdots,0\right)^{T}\)であるので、\(F\)は単射ではない。
従って、\(n\in\left\{ 4,5,\cdots\right\} \)のときも一般的に成り立たない。