半順序集合と全順序集合の定義

(1)半順序集合

集合$P$と2項関係$\preceq$の組$\left(P,\preceq\right)$が半順序関係、つまり次の3条件を満たすとき、$\left(P,\preceq\right)$を半順序関係という。

(a)反射律

任意の$a\in P$について、$a\preceq a$が成り立つ。

(b)反対称律

任意の$a,b\in P$について、$a\preceq b$かつ$b\preceq a$ならば$a=b$となる

(c)推移律

任意の$a,b,c\in P$について、$a\preceq b$かつ$b\preceq c$ならば$a\preceq c$となる。

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最小の半順序集合は集合を空集合$\emptyset$とした、$\left(\emptyset,\preceq\right)$であり自明な半順序集合という。
また、1元のみでも半順序集合$\left(\left\{ a\right\} ,\preceq\right)$となりこれも自明な半順序集合という。

(2)全順序集合

半順序集合$\left(P,\preceq\right)$が完全律、つまり次を満たすとき、$\left(P,\preceq\right)$を全順序集合という。

(a)完全律

任意の$a,b\in P$について、$a\preceq b$または$b\preceq a$が成り立つ。

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最小の全順序集合は集合を空集合$\emptyset$とした、$\left(\emptyset,\preceq\right)$であり自明な全順序集合という。
また、1元のみでも全順序集合$\left(\left\{ a\right\} ,\preceq\right)$となりこれも自明な全順序集合という。

(1)

実数全体の集合$\mathbb{R}$に通常の大小関係$\leq$を入れた$\left(\mathbb{R},\leq\right)$は半順序集合であり全順序集合でもあります。

(2)

複素数全体の集合$\mathbb{C}$に通常の大小関係$\leq$を入れた$\left(\mathbb{C},\leq\right)$は半順序集合であるが全順序集合にはなりません。