広義全順序集合の整列集合と狭義全順序集合の整列集合の関係

\(\Rightarrow\)

広義全順序集合\(\left(A,\preceq\right)\)であるとき、狭義全順序集合\(\left(A,\prec\right)\)であるので、広義全順序集合\(\left(A,\preceq\right)\)が整列性を満たすとき、狭義全順序集合\(\left(A,\prec\right)\)も整列性を満たすことを示せばよい。
これより、空でない任意の部分集合\(S\subseteq A\)について、ある元\(m\in S\)が存在し、任意の\(x\in S\setminus\left\{ m\right\} \)について、\(m\prec x\)を示せばよい。
ここで、広義全順序集合\(\left(A,\preceq\right)\)は整列性を満たすので、ある\(m\in S\)が存在し、任意の\(x\in S\)について、\(m\preceq x\)を満たす。
このとき、\(x\ne m\)とすると、\(m\preceq x\land m\ne x\Leftrightarrow m\prec x\)となるので、任意の\(x\in S\)\(\setminus\left\{ m\right\} \)について、\(\top\Leftrightarrow m\preceq x\land m\ne x\Leftrightarrow m\prec x\)を満たす。
これより、\(S\)の最小元は\(m\)となる。
従って、空でない任意の部分集合\(S\subseteq A\)について、最小元が存在するので、整列性を満たす。
これより、狭義全順序集合\(\left(A,\prec\right)\)は整列性を満たすので、整列集合となる。
従って\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

狭義全順序集合\(\left(A,\preceq\right)\)であるとき、広義全順序集合\(\left(A,\prec\right)\)であるので、狭義全順序集合\(\left(A,\preceq\right)\)が整列性を満たすとき、広義全順序集合\(\left(A,\prec\right)\)も整列性を満たすことを示せばよい。
これより、空でない任意の部分集合\(S\subseteq A\)について、ある元\(m\in S\)が存在し、任意の\(x\in S\)について、\(m\preceq x\)を示せばよい。
ここで、狭義全順序集合\(\left(A,\prec\right)\)は整列性を満たすので、ある\(m\in S\)が存在し、任意の\(x\in S\setminus\left\{ m\right\} \)について、\(m\prec x\)を満たす。
このとき、\(x=m\)とすると、\(m\prec x\land m=x\Leftrightarrow m\preceq x\)となり、\(x\in S\setminus\left\{ m\right\} \)のときも\(m\prec x\Rightarrow\left(m\prec x\lor m=x\right)\Leftrightarrow m\preceq x\)であるので、
、任意の\(x\in S\)について、\(m\preceq x\)を満たす。
これより、\(S\)の最小元は\(m\)となる。
従って、空でない任意の部分集合\(S\subseteq A\)について、最小元が存在するので、整列性を満たす。
これより、広義全順序集合\(\left(A,\preceq\right)\)は整列性を満たすので、整列集合となる。
従って\(\Leftarrow\)が成り立つ

\(\Leftrightarrow\)

これらより\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。