像・逆像と下極限・上極限・極限の関係
全体集合を$X$として、写像$f:X\rightarrow Y,x\mapsto f\left(x\right)$と集合列$\left(A_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\subseteq2^{X},\left(B_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\subseteq2^{Y}$があるとする。

(1)像と下極限

像と下極限について、
\[ \liminf_{n\rightarrow\infty}f\left(A_{n}\right)\supseteq f\left(\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}\right) \] が成り立つ。
$\subseteq$は一般的に成り立たない。
単射であるとき等号が成り立つ。

(2)像と上極限

像と上極限について、
\[ \limsup_{n\rightarrow\infty}f\left(A_{n}\right)\supseteq f\left(\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}\right) \] が成り立つ。
$\subseteq$は一般的に成り立たない。
単射であるとき等号が成り立つ。

(3)像と極限

像の極限$\lim_{n\rightarrow\infty}f\left(A_{n}\right)$と集合列の極限$\lim_{n\rightarrow\infty}A_{n}$がともに存在するとき、像と極限について、
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}f\left(A_{n}\right)\supseteq f\left(\lim_{n\rightarrow\infty}A_{n}\right) \] が成り立つ。
$\subseteq$は一般的に成り立たない。
単射であるとき等号が成り立つ。

(4)逆像と下極限

逆像と下極限について、
\[ \liminf_{n\rightarrow\infty}f^{\bullet}\left(B_{n}\right)=f^{\bullet}\left(\liminf_{n\rightarrow\infty}B_{n}\right) \] が成り立つ。

(5)逆像と上極限

逆像と上極限について、
\[ \limsup_{n\rightarrow\infty}f^{\bullet}\left(B_{n}\right)=f^{\bullet}\left(\limsup_{n\rightarrow\infty}B_{n}\right) \] が成り立つ。

(6)逆像と極限

集合列の極限$\lim_{n\rightarrow\infty}B_{n}$が存在するとき、逆像と極限について、
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}f^{\bullet}\left(B_{n}\right)=f^{\bullet}\left(\lim_{n\rightarrow\infty}B_{n}\right) \] が成り立つ。

(1)

\begin{align*} \liminf_{n\rightarrow\infty}f\left(A_{n}\right) & =\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}f\left(A_{k}\right)\\ & \supseteq\bigcup_{n=1}^{\infty}f\left(\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{k}\right)\\ & =f\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{k}\right)\\ & =f\left(\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}\right) \end{align*} となるので与式は成り立つ。
また、単射であるときは$\supseteq$の箇所が$=$になるので等号が成り立つ。

$\subseteq$は一般的に成り立たない

反例で示す。
写像を$f:\mathbb{R}\rightarrow\left\{ -1,1\right\} ,x\mapsto1$として、集合を$A_{n}=\left\{ \left(-1\right)^{n}\right\} $とする。
このとき、
\begin{align*} f\left(\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}\right) & =f\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}\left\{ \left(-1\right)^{k}\right\} \right)\\ & =f\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}\emptyset\right)\\ & =f\left(\emptyset\right)\\ & =\emptyset \end{align*} \begin{align*} \liminf_{n\rightarrow\infty}f\left(A_{n}\right) & =\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}f\left(\left\{ \left(-1\right)^{k}\right\} \right)\\ & =\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}\left\{ 1\right\} \\ & =\left\{ 1\right\} \end{align*} となるので、$\liminf_{n\rightarrow\infty}f\left(A_{n}\right)=\left\{ 1\right\} \supsetneq\emptyset=f\left(\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}\right)$となる。
従って、$\subseteq$は一般的に成り立たない。
また、この例は$\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}=\left\{ -1,1\right\} \ne\emptyset=\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}$なので$\lim_{n\rightarrow\infty}A_{n}$が存在しない例となってます。

(2)

\begin{align*} \limsup_{n\rightarrow\infty}f\left(A_{n}\right) & =\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}f\left(A_{k}\right)\\ & =\bigcap_{n=1}^{\infty}f\left(\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}\right)\\ & \supseteq f\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}\right)\\ & =f\left(\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}\right) \end{align*} となるので与式は成り立つ。
また、単射であるときは$\supseteq$の箇所が$=$になるので等号が成り立つ。

$\subseteq$は一般的に成り立たない

反例で示す。
写像を$f:\mathbb{N}\rightarrow\left\{ -1,+1\right\} ,n\mapsto\left(-1\right)^{n}$として、集合を$A_{n}=\left\{ n\right\} $とする。
このとき、
\begin{align*} f\left(\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}\right) & =f\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}\left\{ k\right\} \right)\\ & =f\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}\left\{ k;k\in\left\{ n,n+1,\cdots\right\} \right\} \right)\\ & =f\left(\emptyset\right)\\ & =\emptyset \end{align*} \begin{align*} \limsup_{n\rightarrow\infty}f\left(A_{n}\right) & =\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}f\left(\left\{ k\right\} \right)\\ & =\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}\left\{ \left(-1\right)^{k}\right\} \\ & =\bigcap_{n=1}^{\infty}\left\{ -1,+1\right\} \\ & =\left\{ -1,+1\right\} \end{align*} となるので、$\limsup_{n\rightarrow\infty}f\left(A_{n}\right)=\left\{ -1,+1\right\} \supsetneq\emptyset=f\left(\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}\right)$となる。
従って、$\subseteq$は一般的に成り立たない。
またこの例は$\liminf_{n\rightarrow\infty}f\left(A_{n}\right)=\emptyset\ne\left\{ -1,+1\right\} =\limsup_{n\rightarrow\infty}f\left(A_{n}\right)$なので$\lim_{n\rightarrow\infty}f\left(A_{n}\right)$が存在しない例となってます。

(3)

条件より、$\lim_{n\rightarrow\infty}f\left(A_{n}\right)=\liminf_{n\rightarrow\infty}f\left(A_{n}\right)=\limsup_{n\rightarrow\infty}f\left(A_{n}\right)$かつ$\lim_{n\rightarrow\infty}A_{n}=\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}=\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}$であるので、
\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}f\left(A_{n}\right) & =\liminf_{n\rightarrow\infty}f\left(A_{n}\right)\\ & \supseteq f\left(\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}\right)\\ & =f\left(\lim_{n\rightarrow\infty}A_{n}\right) \end{align*} となる。
従って与式は成り立つ。
また、単射であるときは$\supseteq$の箇所が$=$になるので等号が成り立つ。

$\subseteq$は一般的に成り立たない

反例で示す。
写像を$f:\mathbb{N}\rightarrow\left\{ 1\right\} ,n\mapsto1$として、集合を$A_{n}=\left\{ n\right\} $とする。
このとき、
\begin{align*} \liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n} & =\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}\left\{ k\right\} \\ & =\bigcup_{n=1}^{\infty}\emptyset\\ & =\emptyset \end{align*} \begin{align*} \limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n} & =\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}\left\{ k\right\} \\ & =\bigcap_{n=1}^{\infty}\left\{ k;k\in\left\{ n,n+1,\cdots\right\} \right\} \\ & =\emptyset \end{align*} となるので、$\lim_{n\rightarrow\infty}A_{n}=\emptyset=\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}=\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}$となり、
\begin{align*} f\left(\lim_{n\rightarrow\infty}A_{n}\right) & =f\left(\emptyset\right)\\ & =\emptyset \end{align*} となる。
また、
\begin{align*} \liminf_{n\rightarrow\infty}f\left(A_{n}\right) & =\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}f\left(\left\{ k\right\} \right)\\ & =\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}\left\{ 1\right\} \\ & =\left\{ 1\right\} \end{align*} \begin{align*} \limsup_{n\rightarrow\infty}f\left(A_{n}\right) & =\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}f\left(\left\{ k\right\} \right)\\ & =\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}\left\{ 1\right\} \\ & =\left\{ 1\right\} \end{align*} となるので、$\lim_{n\rightarrow\infty}f\left(A_{n}\right)=\left\{ 1\right\} =\liminf_{n\rightarrow\infty}f\left(A_{n}\right)=\limsup_{n\rightarrow\infty}f\left(A_{n}\right)$となる。
これより、$\lim_{n\rightarrow\infty}f\left(A_{n}\right)=\left\{ 1\right\} \supsetneq\emptyset=f\left(\lim_{n\rightarrow\infty}A_{n}\right)$となる。
従って、$\subseteq$は一般的に成り立たない。

補足

集合列の極限$\lim_{n\rightarrow\infty}A_{n}$が存在しても像の極限$\lim_{n\rightarrow\infty}f\left(A_{n}\right)$が存在するとは限りません。
また、像の極限$\lim_{n\rightarrow\infty}f\left(A_{n}\right)$が存在しても集合列の極限$\lim_{n\rightarrow\infty}A_{n}$が存在するとは限りません。
これより、像の極限$\lim_{n\rightarrow\infty}f\left(A_{n}\right)$と集合列の極限$\lim_{n\rightarrow\infty}A_{n}$がともに存在するときに成り立ちます。

(4)

\begin{align*} \liminf_{n\rightarrow\infty}f^{\bullet}\left(B_{n}\right) & =\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}f^{\bullet}\left(B_{k}\right)\\ & =\bigcup_{n=1}^{\infty}f^{\bullet}\left(\bigcap_{k=n}^{\infty}B_{k}\right)\\ & =f^{\bullet}\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}B_{k}\right)\\ & =f^{\bullet}\left(\liminf_{n\rightarrow\infty}B_{n}\right) \end{align*} となるので与式は成り立つ。

(5)

\begin{align*} \limsup_{n\rightarrow\infty}f^{\bullet}\left(B_{n}\right) & =\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}f^{\bullet}\left(B_{k}\right)\\ & =\bigcap_{n=1}^{\infty}f^{\bullet}\left(\bigcup_{k=n}^{\infty}B_{k}\right)\\ & =f^{\bullet}\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}B_{k}\right)\\ & =f^{\bullet}\left(\limsup_{n\rightarrow\infty}B_{n}\right) \end{align*} となるので与式は成り立つ。

(6)

$\lim_{n\rightarrow\infty}B_{n}$が存在するとき、
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}B_{n}=\liminf_{n\rightarrow\infty}B_{n}=\limsup_{n\rightarrow\infty}B_{n} \] なので、
\begin{align*} \liminf_{n\rightarrow\infty}f^{\bullet}\left(B_{n}\right) & =f^{\bullet}\left(\liminf_{n\rightarrow\infty}B_{n}\right)\\ & =f^{\bullet}\left(\lim_{n\rightarrow\infty}B_{n}\right) \end{align*} \begin{align*} \limsup_{n\rightarrow\infty}f^{\bullet}\left(B_{n}\right) & =f^{\bullet}\left(\limsup_{n\rightarrow\infty}B_{n}\right)\\ & =f^{\bullet}\left(\lim_{n\rightarrow\infty}B_{n}\right) \end{align*} となるので、$\liminf_{n\rightarrow\infty}f^{\bullet}\left(B_{n}\right)=f^{\bullet}\left(\lim_{n\rightarrow\infty}B_{n}\right)=\limsup_{n\rightarrow\infty}f^{\bullet}\left(B_{n}\right)$となり、$\lim_{n\rightarrow\infty}f^{\bullet}\left(B_{n}\right)$が存在する。
これより、
\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}f^{\bullet}\left(B_{n}\right) & =\liminf_{n\rightarrow\infty}f^{\bullet}\left(B_{n}\right)\\ & =f^{\bullet}\left(\lim_{n\rightarrow\infty}B_{n}\right) \end{align*} となる。
従って題意は成り立つ。

補足

$\lim_{n\rightarrow\infty}f^{\bullet}\left(B_{n}\right)=f^{\bullet}\left(\lim_{n\rightarrow\infty}B_{n}\right)$が成り立つには集合列の極限$\lim_{n\rightarrow\infty}B_{n}$と逆像の極限$\lim_{n\rightarrow\infty}f^{\bullet}\left(B_{n}\right)$がともに存在する必要がありますが、集合列の極限$\lim_{n\rightarrow\infty}B_{n}$が存在するならば、逆像の極限$\lim_{n\rightarrow\infty}f^{\bullet}\left(B_{n}\right)$が存在するので、集合列の極限$\lim_{n\rightarrow\infty}B_{n}$が存在していれば題意は成り立ちます。
また、逆像の極限$\lim_{n\rightarrow\infty}f^{\bullet}\left(B_{n}\right)$が存在しても集合列の極限$\lim_{n\rightarrow\infty}B_{n}$が存在するとは限らないので、逆像の極限$\lim_{n\rightarrow\infty}f^{\bullet}\left(B_{n}\right)$が存在するだけでは題意は成り立ちません。