(1)

反例で示す。
\(\sgn\left(x\right)\)を符号関数とする。
写像を\(f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R},x\mapsto\sgn\left(x\right)\)として、集合を\(A_{n}=\left\{ \left(-1\right)^{n}n\right\} \)とする。
このとき、
\begin{align*} \liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n} & =\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}\left\{ \left(-1\right)^{k}k\right\} \\ & =\bigcup_{n=1}^{\infty}\emptyset\\ & =\emptyset \end{align*} \begin{align*} \limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n} & =\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}\left\{ \left(-1\right)^{k}k\right\} \\ & =\bigcap_{n=1}^{\infty}\left\{ \left(-1\right)^{k}k;k\in\left\{ n,n+1,\cdots\right\} \right\} \\ & =\emptyset \end{align*} となるので、\(\lim_{n\rightarrow\infty}A_{n}=\emptyset=\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}=\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}\)となり、極限\(\lim_{n\rightarrow\infty}A_{n}\)は存在する。
しかし、
\begin{align*} \liminf_{n\rightarrow\infty}f\left(A_{n}\right) & =\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}f\left(\left\{ \left(-1\right)^{k}k\right\} \right)\\ & =\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}\sgn\left(\left\{ \left(-1\right)^{k}k\right\} \right)\\ & =\bigcup_{n=1}^{\infty}\emptyset\\ & =\emptyset \end{align*} \begin{align*} \limsup_{n\rightarrow\infty}f\left(A_{n}\right) & =\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}f\left(\left\{ \left(-1\right)^{k}k\right\} \right)\\ & =\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}\sgn\left(\left\{ \left(-1\right)^{k}k\right\} \right)\\ & =\bigcap_{n=1}^{\infty}\left\{ -1,1\right\} \\ & =\left\{ -1,1\right\} \end{align*} となり、\(\liminf_{n\rightarrow\infty}f\left(A_{n}\right)=\emptyset\ne\left\{ -1,1\right\} =\limsup_{n\rightarrow\infty}f\left(A_{n}\right)\)となるので、像の極限\(\lim_{n\rightarrow\infty}f\left(A_{n}\right)\)は存在しない。
従って題意は成り立つ。

(2)

反例で示す。
写像を\(f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N},n\mapsto1\)として、集合を\(A_{n}=\left\{ f\left(n\right)\right\} =\left\{ \left(-1\right)^{n}\right\} \)とする。
このとき、
\begin{align*} \liminf_{n\rightarrow\infty}f\left(A_{n}\right) & =\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}f\left(\left\{ \left(-1\right)^{k}\right\} \right)\\ & =\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}\left\{ 1\right\} \\ & =\left\{ 1\right\} \end{align*} \begin{align*} \limsup_{n\rightarrow\infty}f\left(A_{n}\right) & =\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}f\left(\left\{ \left(-1\right)^{k}\right\} \right)\\ & =\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}\left\{ 1\right\} \\ & =\left\{ 1\right\} \end{align*} となるので、\(\lim_{n\rightarrow\infty}f\left(A_{n}\right)=\left\{ 1\right\} =\liminf_{n\rightarrow\infty}f\left(A_{n}\right)=\limsup_{n\rightarrow\infty}f\left(A_{n}\right)\)となり、像の極限\(\lim_{n\rightarrow\infty}f\left(A_{n}\right)\)は存在する。
しかし、
\begin{align*} \liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n} & =\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}\left\{ \left(-1\right)^{k}\right\} \\ & =\bigcup_{n=1}^{\infty}\emptyset\\ & =\emptyset \end{align*} \begin{align*} \limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n} & =\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}\left\{ \left(-1\right)^{k}\right\} \\ & =\bigcap_{n=1}^{\infty}\left\{ -1,1\right\} \\ & =\left\{ -1,1\right\} \end{align*} となり、\(\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}=\emptyset\ne\left\{ -1,1\right\} =\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}\)となるので、極限\(\lim_{n\rightarrow\infty}A_{n}\)は存在しない。
従って題意は成り立つ。

(3)

条件より、\(\lim_{n\rightarrow\infty}A_{n}\)が存在するので、\(\lim_{n\rightarrow\infty}A_{n}=\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}=\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}\)である。
これより、
\begin{align*} \liminf_{n\rightarrow\infty}f^{\bullet}\left(A_{n}\right) & =\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}f^{\bullet}\left(A_{k}\right)\\ & =\bigcup_{n=1}^{\infty}f^{\bullet}\left(\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{k}\right)\\ & =f^{\bullet}\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{k}\right)\\ & =f^{\bullet}\left(\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{k}\right)\\ & =f^{\bullet}\left(\lim_{n\rightarrow\infty}A_{k}\right) \end{align*} \begin{align*} \limsup_{n\rightarrow\infty}f^{\bullet}\left(A_{n}\right) & =\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}f^{\bullet}\left(A_{k}\right)\\ & =\bigcap_{n=1}^{\infty}f^{\bullet}\left(\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}\right)\\ & =f^{\bullet}\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}\right)\\ & =f^{\bullet}\left(\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{k}\right)\\ & =f^{\bullet}\left(\lim_{n\rightarrow\infty}A_{k}\right) \end{align*} となるので、\(\lim_{n\rightarrow\infty}f^{\bullet}\left(A_{n}\right)=f^{\bullet}\left(\lim_{n\rightarrow\infty}A_{n}\right)=\liminf_{n\rightarrow\infty}f^{\bullet}\left(A_{n}\right)=\limsup_{n\rightarrow\infty}f^{\bullet}\left(A_{n}\right)\)となる。
従って題意は成り立つ。

(4)

反例で示す。
写像を\(f:\left\{ 1\right\} \rightarrow\left\{ -1,1\right\} ,x\mapsto1\)として、集合を\(A_{n}=\left\{ 1,\left(-1\right)^{n}\right\} \)とする。
このとき、
\begin{align*} \liminf_{n\rightarrow\infty}f^{\bullet}\left(A_{n}\right) & =\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}f^{\bullet}\left(\left\{ 1,\left(-1\right)^{k}\right\} \right)\\ & =\bigcup_{n=1}^{\infty}f^{\bullet}\left(\bigcap_{k=n}^{\infty}\left\{ 1,\left(-1\right)^{k}\right\} \right)\\ & =f^{\bullet}\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}\left\{ 1,\left(-1\right)^{k}\right\} \right)\\ & =f^{\bullet}\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}\left\{ 1\right\} \right)\\ & =f^{\bullet}\left(\left\{ 1\right\} \right)\\ & =\left\{ 1\right\} \end{align*} \begin{align*} \limsup_{n\rightarrow\infty}f^{\bullet}\left(A_{n}\right) & =\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}f^{\bullet}\left(\left\{ 1,\left(-1\right)^{k}\right\} \right)\\ & =\bigcap_{n=1}^{\infty}f^{\bullet}\left(\bigcup_{k=n}^{\infty}\left\{ 1,\left(-1\right)^{k}\right\} \right)\\ & =f^{\bullet}\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}\left\{ 1,\left(-1\right)^{k}\right\} \right)\\ & =f^{\bullet}\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}\left\{ -1,1\right\} \right)\\ & =f^{\bullet}\left(\left\{ -1,1\right\} \right)\\ & =\left\{ 1\right\} \end{align*} となるので、\(\lim_{n\rightarrow\infty}f^{\bullet}\left(A_{n}\right)=\left\{ 1\right\} =\liminf_{n\rightarrow\infty}f^{\bullet}\left(A_{n}\right)=\limsup_{n\rightarrow\infty}f^{\bullet}\left(A_{n}\right)\)となり、逆像の極限\(\lim_{n\rightarrow\infty}f^{\bullet}\left(A_{n}\right)\)は存在する。
しかし、
\begin{align*} \liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n} & =\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}\left\{ 1,\left(-1\right)^{k}\right\} \\ & =\bigcup_{n=1}^{\infty}\left\{ 1\right\} \\ & =\left\{ 1\right\} \end{align*} \begin{align*} \limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n} & =\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}\left\{ 1,\left(-1\right)^{k}\right\} \\ & =\bigcap_{n=1}^{\infty}\left\{ -1,1\right\} \\ & =\left\{ -1,1\right\} \end{align*} となり、\(\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}=\left\{ 1\right\} \ne\left\{ -1,1\right\} =\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}\)となるので、極限\(\lim_{n\rightarrow\infty}A_{n}\)は存在しない。
従って題意は成り立つ。