(1)

\begin{align*} f^{\bullet}\left(f\left(A\right)\right) & =\left\{ x_{2};x_{1}\in A,f\left(x_{1}\right)=y,y=f\left(x_{2}\right)\right\} \\ & =\left\{ x_{2};x_{1}\in A,f\left(x_{1}\right)=f\left(x_{2}\right)\right\} \\ & \supseteq A \end{align*} 故に与式は成り立つ。
単射のとき\(\Rightarrow\)が\(\Leftrightarrow\)にできるので、逆が成り立つ。

逆の反例

\(A\supseteq f^{\bullet}\left(f\left(A\right)\right)\)が成り立たないことを示す。
始域を\(X=\left\{ a_{1},a_{2}\right\} \)、終域を\(Y=\left\{ b_{1}\right\} \)として写像\(f\)を\(f\left(a_{1}\right)=f\left(a_{2}\right)=b_{1}\)とする。
このとき\(X\)の部分集合\(A=\left\{ a_{1}\right\} \)をとる。
そうすると、\(f^{\bullet}\left(f\left(A\right)\right)=f^{\bullet}\left(f\left(\left\{ a_{1}\right\} \right)\right)=f^{\bullet}\left(\left\{ b_{1}\right\} \right)=\left\{ a_{1},a_{2}\right\} \)となるので逆が正しいとすると、\(\left\{ a_{1}\right\} \supseteq\left\{ a_{1},a_{2}\right\} \)となるがこれは偽である。
故に逆は成り立たない。

(2)

\begin{align*} f\left(f^{\bullet}\left(B\right)\right) & =f\left(f^{\bullet}\left(B\cap\left(f\left(X\right)\cup Y\setminus f\left(X\right)\right)\right)\right)\\ & =ff^{\bullet}\left(B\cap f\left(X\right)\right)\cup ff^{\bullet}\left(B\cap\left(Y\setminus f\left(X\right)\right)\right)\\ & =ff^{\bullet}\left(B\cap f\left(X\right)\right)\cup\emptyset\\ & =ff^{\bullet}\left(B\cap f\left(X\right)\right)\\ & =\left\{ y_{2};\exists x\in X,y_{1}\in B\cap f\left(X\right),f\left(x\right)=y_{1},f\left(x\right)=y_{2}\right\} \\ & =B\cap f\left(X\right)\\ & \subseteq B \end{align*} 故に与式は成り立つ。
全射のときは\(\subseteq\)が\(=\)とできるので逆が成り立つ。

逆の反例

\(B\subseteq f\left(f^{\bullet}\left(B\right)\right)\)が成り立たないことを示す。
始域を\(X=\emptyset\)、終域を\(Y=\left\{ b_{1}\right\} \)として写像\(f\)を空写像とする。
このとき\(Y\)の部分集合\(B=\left\{ b_{1}\right\} \)をとる。
そうすると、\(f\left(f^{\bullet}\left(B\right)\right)=f\left(f^{\bullet}\left(\left\{ b_{1}\right\} \right)\right)=f\left(\emptyset\right)=\emptyset\)となるので逆が正しいとすると、\(\left\{ b_{1}\right\} \subseteq\emptyset\)となるがこれは偽である。
故に逆は成り立たない。

(3)

\(A\subseteq f^{\bullet}\left(f\left(A\right)\right)\)より、
\[ f\left(A\right)\subseteq ff^{\bullet}f\left(A\right) \] となる。
\(B\supseteq f\left(f^{\bullet}\left(B\right)\right)\)より、\(B=f\left(A\right)\)とおくと、
\[ f\left(A\right)\supseteq ff^{\bullet}f\left(A\right) \] となる。
これより、\(f\left(A\right)\subseteq ff^{\bullet}f\left(A\right)\land f\left(A\right)\supseteq ff^{\bullet}f\left(A\right)\Leftrightarrow f\left(A\right)=ff^{\bullet}f\left(A\right)\)となる。

(4)

\(A\subseteq f^{\bullet}\left(f\left(A\right)\right)\)より、\(A=f^{\bullet}\left(B\right)\)とおくと、
\[ f^{\bullet}\left(B\right)\subseteq f^{\bullet}ff^{\bullet}\left(B\right) \] となる。
\(B\supseteq f\left(f^{\bullet}\left(B\right)\right)\)より、
\[ f^{\bullet}\left(B\right)\supseteq f^{\bullet}ff^{\bullet}\left(B\right) \] これより、\(f^{\bullet}\left(B\right)\subseteq f^{\bullet}ff^{\bullet}\left(B\right)\land f^{\bullet}\left(B\right)\supseteq f^{\bullet}ff^{\bullet}\left(B\right)\Leftrightarrow f^{\bullet}\left(B\right)=f^{\bullet}ff^{\bullet}\left(B\right)\)となる。