写像と対応の定義
写像と対応を次で定義する。

(1)写像

集合\(X\)の任意の要素に対し、集合\(Y\)の要素をただ１つのみ定める規則\(f\)を\(X\)から\(Y\)への写像\(f\)といい\(f:X\rightarrow Y\)で表す。
\(X\)を始域(domain)、\(Y\)を終域(codomain)といい、\(\dom\left(f\right)=X,\cod\left(f\right)=Y\)で表す。
写像の定義域と像\(f\left(X\right)\)・値域は
\[ \Def\left(f\right)=\left\{ x\in X;f\left(x\right)\in Y\right\} =X \] \begin{align*} \ran\left(f\right) & =\left\{ f\left(x\right)\in Y;x\in X\right\} \\ & =\bigcup_{x\in X}\left\{ f\left(x\right)\right\} \\ & \subseteq Y \end{align*} となる。
写像は
\[ \forall x\in X,\exists!y\in Y,y=f\left(x\right) \] を満たし、写像\(f\)により\(X\)の元\(x\in X\)が\(Y\)の元\(y\in Y\)に写るとき\(x\mapsto y\)や\(X\ni x\mapsto y\in Y\)で表す。
ただし、\(x\in X\)が\(y\in Y\)に写ることを\(x\rightarrow y\)で表すこともある。
特に写像\(f:X\rightarrow\mathbb{R}\)を\(X\)上の関数という。

(2)対応

集合\(X\)の任意の要素に対して集合\(Y\)の部分集合を定めるときこの規則を対応\(f\)といい\(f:X\rightarrow Y\)で表す。
対応を\(f:X\multimap Y\)で表すこともある。
\(X\)を始域(domain)、\(Y\)を終域(codomain)といい、\(\dom\left(f\right)=X,\cod\left(f\right)=Y\)で表す。
任意の\(x\in X\)に対し、\(Y\)の部分集合が1つ決まるのでこれを\(f\left(x\right)\)と表し\(x\)の像という。
\(Y\)には空集合も含むので、\(f\left(x\right)=\emptyset\)となる場合もあります。
\(f\left(x\right)\ne\emptyset\)となる\(X\)の元全体を定義域といい、\(X\)の部分集合であり、これは\(\left\{ x\in X;\exists y\in Y,y\in f\left(x\right)\right\} \)と同じである。
また、\(X\)の全ての要素\(a\)に対してできる\(f\left(a\right)\)の要素全体の集合を値域といい、\(Y\)の部分集合であり、これは\(\left\{ y\in Y;\exists x\in X,y\in f\left(x\right)\right\} \)と同じである。
すなわち、対応の定義域と像\(f\left(X\right)\)・値域は
\begin{align*} \Def\left(f\right) & =\left\{ x\in X;f\left(x\right)\ne\emptyset\right\} \\ & =\left\{ x\in X;\exists y\in Y,y\in f\left(x\right)\right\} \\ & \subseteq X \end{align*} \begin{align*} \ran\left(f\right) & =\left\{ y\in Y;\exists x\in X,y\in f\left(x\right)\right\} \\ & =\bigcup_{x\in X}f\left(x\right)\\ & \subseteq Y \end{align*} となる。

(3)グラフによる表現

写像・対応は直積集合\(X\times Y\)の部分集合\(G_{f}\)があるとき、\(\left(X,Y,G_{f}\right)\)で定義される。
写像は全域性\(\forall x\in X,\exists y\in Y\),\(\left(x,y\right)\in G_{f}\)と、右一意性\(\left(x,y_{1}\right),\left(x,y_{2}\right)\in G_{f}\Rightarrow y_{1}=y_{2}\)を満たします。
対応は全域性も右一意性も満たさなくてもよい。
\(X\)を始域、\(Y\)を終域といい、\(f\)の定義域は\(\Def\left(f\right)=\left\{ x\in X;\exists y,\left(x,y\right)\in G\right\} \)、\(f\)の像または値域は\(\mathrm{ran}\left(f\right)=\left\{ y\in Y;\exists x,\left(x,y\right)\in G\right\} \)である。
対応\(f\)による値は\(f\left(x\right)=\left\{ y\in Y;\left(x,y\right)\in G\right\} \)となり、\(G\left(f\right)=\left\{ \left(x,y\right);x\in X,y\in f\left(x\right)\right\} \)は対応\(f\)のグラフ\(G\)となる。
写像\(f\)のグラフは\(G\left(f\right)=\left\{ \left(x,y\right);x\in X,y=f\left(x\right)\right\} \)となる。