(0)

任意の自然数\(m,n\in\mathbb{N}\)に対し、
\[ \bigcap_{k=m}^{\infty}A_{k}\subseteq\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k} \] が成り立っている。
この右辺について任意の\(n\)について成り立っているので、
\begin{align*} \bigcap_{k=m}^{\infty}A_{k} & \subseteq\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}\\ & =\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n} \end{align*} となり、この左辺については任意の\(m\)について成り立っているので、
\begin{align*} \limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n} & \supseteq\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=m}^{\infty}A_{k}\\ & =\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n} \end{align*} となる。
従って、
\[ \liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}\subseteq\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n} \] が成り立つ。

(0)-2

\(x\in\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}=\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{k}\)はある\(N\geq1\)が存在し、任意の\(i\geq N\)に対し、\(x\in A_{i}\)となる。
すなわち、\(\exists N\geq1,\bigcap_{i=N}^{\infty}A_{i}\)となる。
ここで、任意の\(M\geq1\)に対し、\(k=\max\left(M,N\right)\)とすれば\(k\geq M\)かつ\(x\in A_{k}\)となるので、\(x\in\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}=\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}\)となる。
すなわち、
\begin{align*} & \exists N\geq1,\forall M\geq1,\left(x\in\bigcap_{i=N}^{\infty}A_{i}\rightarrow x\in A_{\max\left(M,N\right)}\right)\land\left(x\in A_{\max\left(M,N\right)}\rightarrow x\in\bigcup_{k=M}^{\infty}A_{k}\right)\\ \Rightarrow & \exists N\geq1,\forall M\geq1,x\in\bigcap_{i=N}^{\infty}A_{i}\rightarrow x\in\bigcup_{k=M}^{\infty}A_{k}\\ \Leftrightarrow & x\in\bigcup_{N=1}^{\infty}\bigcap_{i=N}^{\infty}A_{i}\rightarrow x\in\bigcap_{M=1}^{\infty}\bigcup_{k=M}^{\infty}A_{k} \end{align*} これより、\(\bigcup_{N=1}^{\infty}\bigcap_{i=N}^{\infty}A_{i}\subseteq\bigcap_{M=1}^{\infty}\bigcup_{k=M}^{\infty}A_{k}\Leftrightarrow\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}\subseteq\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}\)となり、題意は成り立つ。