上極限集合・下極限集合・極限集合の補集合
集合列\(\left(A_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)が与えられているとする。

(1)上極限集合の補集合

\[ \left(\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}\right)^{c}=\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}^{c} \]

(2)下極限集合の補集合

\[ \left(\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}\right)^{c}=\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}^{c} \]

(3)極限集合の補集合

\begin{align*} \left(\lim_{n\rightarrow\infty}A_{n}\right)^{c} & =\left(\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}\right)^{c}\\ & =\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}^{c}\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}A_{n}^{c} \end{align*}

(1)

\begin{align*} \left(\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}\right)^{c} & =\left(\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}\right)^{c}\\ & =\bigcup_{n=1}^{\infty}\left(\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}\right)^{c}\\ & =\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{k}^{c}\\ & =\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}^{c} \end{align*}

(2)

(1)より、
\begin{align*} \left(\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}\right)^{c} & =\left(\liminf_{n\rightarrow\infty}\left(A_{n}^{\;c}\right)^{c}\right)^{c}\\ & =\left(\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}^{c}\right)^{cc}\\ & =\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}^{c} \end{align*}

(2)-2

\begin{align*} \left(\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}\right)^{c} & =\left(\bigcup_{n=1}^{\infty}\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{k}\right)^{c}\\ & =\bigcap_{n=1}^{\infty}\left(\bigcap_{k=n}^{\infty}A_{k}\right)^{c}\\ & =\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}^{c}\\ & =\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}^{c} \end{align*}

(3)

極限集合が存在するとき、\(\lim_{n\rightarrow\infty}A_{n}=\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}=\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}\)なので、
\begin{align*} \left(\lim_{n\rightarrow\infty}A_{n}\right)^{c} & =\left(\limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}\right)^{c}\\ & =\liminf_{n\rightarrow\infty}A_{n}^{c}\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}A_{n}^{c} \end{align*} となる。

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タイトル	上極限集合・下極限集合・極限集合の補集合
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単調増加列・単調減少列の極限集合

\[ A_{n}\nearrow_{n\in\mathbb{N}}\Rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}A_{n}=\bigcup_{n\in\mathbb{N}}A_{n} \]

上極限集合と下極限集合の定義

\[ \limsup_{n\rightarrow\infty}A_{n}=\bigcap_{n=1}^{\infty}\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k} \]