和集合・積集合の元とそれぞれの集合との関係
集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)があるとする。
集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)があるとする。
(1)
\[ a\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\Leftrightarrow\bigvee_{\lambda\in\Lambda}a\in A_{\lambda} \](2)
\[ a\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\Leftrightarrow\bigwedge_{\lambda\in\Lambda}a\in A_{\lambda} \](1)
\(\Rightarrow\)
\(a\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\)は\(a\)が\(A_{\lambda}\)のどれかの要素に含まれているということで、これは\(\lambda\in\Lambda\)について\(a\in A_{\lambda}\)が1つでも満たしていればいいので\(\bigvee_{\lambda\in\Lambda}a\in A_{\lambda}\)となる。\(\Leftarrow\)
\(\bigvee_{\lambda\in\Lambda}a\in A_{\lambda}\) は\(\lambda\in\Lambda\)について\(a\in A_{\lambda}\)が1つでも満たしていればよく、これは\(a\)が\(A_{\lambda}\)のどれかの要素に含まれているということなので\(a\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\)となる。\(\Leftrightarrow\)
これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)となる。(2)
\(\Rightarrow\)
\(a\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\)は全ての\(A_{\lambda}\)が\(a\)を要素に持つということで、これは\(\lambda\in\Lambda\)について全ての\(a\in A_{\lambda}\)を満たさなくてはいけないので\(\bigwedge_{\lambda\in\Lambda}a\in A_{\lambda}\)となる。\(\Leftarrow\)
\(\bigwedge_{\lambda\in\Lambda}a\in A_{\lambda}\) は\(\lambda\in\Lambda\)について全ての\(a\in A_{\lambda}\)を満たさなければいけなく、これは全ての\(A_{\lambda}\)が\(a\)を要素に持つということなので\(a\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\)となる。\(\Leftrightarrow\)
これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)となる。
ページ情報
| タイトル | 和集合・積集合の元とそれぞれの集合との関係 |
| URL | https://www.nomuramath.com/vrmp6u0y/ |
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2つの集合族同士の演算
\[
\left(\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cap\left(\prod_{\mu\in\Lambda}B_{\mu}\right)=\prod_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\cap B_{\lambda}\right)
\]
直積集合の性質
\[
\left(A\times B\right)^{c}=\left(A^{c}\times B^{c}\right)\cup\left(A^{c}\times B\right)\cup\left(A\times B^{c}\right)
\]
直積集合の定義
\[
A\times B:=\left\{ \left(a,b\right);a\in A\land b\in B\right\}
\]
配置集合
\[
B^{A}
\]