集合族演算の補集合と分配法則
集合族演算の補集合と分配法則
\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)を集合族として、\(B\)を集合とする。
補集合
分配法則
その他
\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)を集合族として、\(B\)を集合とする。
補集合
(1)和集合の補集合
\[ \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)^{c}=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}^{\;c} \](2)積集合の補集合
\[ \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)^{c}=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}^{\;c} \]分配法則
(3)和集合との積集合
\[ \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cap B=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\cap B\right) \](4)積集合との和集合
\[ \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cup B=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\cup B\right) \](5)和集合との差集合
\[ \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\setminus B=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\setminus B\right) \](6)和集合との積集合
\[ B\cap\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\left(B\cap A_{\lambda}\right) \](7)積集合との和集合
\[ B\cup\left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}\left(B\cup A_{\lambda}\right) \](8)和集合との差集合
\[ B\setminus\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\left(B\setminus A_{\lambda}\right) \]その他
(9)和集合との和集合
\[ \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cup B=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\cup B\right) \](10)積集合との積集合
\[ \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cap B=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\cap B\right) \](11)積集合との差集合
\[ \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\setminus B=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\setminus B\right) \]対称差集合については
\[ \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\triangle B\ne\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\triangle B\right) \] \[ \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\triangle B\ne\bigcap_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\triangle B\right) \] となり分配法則が成り立たない。
反例で示す。
\(\Lambda=\left\{ 1,2\right\} ,A_{1}=\left\{ a_{1}\right\} ,A_{2}=\left\{ a_{2}\right\} ,B=\left\{ a_{1},a_{2}\right\} \)とする。
\begin{align*} \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\triangle B & =\left(\bigcup_{\lambda\in\left\{ 1,2\right\} }A_{\lambda}\right)\triangle B\\ & =\left(A_{1}\cup A_{2}\right)\triangle B\\ & =\left(\left\{ a_{1}\right\} \cup\left\{ a_{2}\right\} \right)\triangle\left\{ a_{1},a_{2}\right\} \\ & =\left\{ a_{1},a_{2}\right\} \triangle\left\{ a_{1},a_{2}\right\} \\ & =\emptyset \end{align*} \begin{align*} \bigcup_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\triangle B\right) & =\bigcup_{\lambda\in\left\{ 1,2\right\} }\left(A_{\lambda}\triangle B\right)\\ & =\left(A_{1}\triangle B\right)\cup\left(A_{2}\triangle B\right)\\ & =\left(\left\{ a_{1}\right\} \triangle\left\{ a_{1},a_{2}\right\} \right)\cup\left(\left\{ a_{2}\right\} \triangle\left\{ a_{1},a_{2}\right\} \right)\\ & =\left\{ a_{2}\right\} \cup\left\{ a_{1}\right\} \\ & =\left\{ a_{1},a_{2}\right\} \end{align*} となるので、
\[ \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\triangle B\ne\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\triangle B\right) \] となる。
\begin{align*} \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\triangle B & =\left(\bigcap_{\lambda\in\left\{ 1,2\right\} }A_{\lambda}\right)\triangle B\\ & =\left(A_{1}\cap A_{2}\right)\triangle B\\ & =\left(\left\{ a_{1}\right\} \cap\left\{ a_{2}\right\} \right)\triangle\left\{ a_{1},a_{2}\right\} \\ & =\emptyset\triangle\left\{ a_{1},a_{2}\right\} \\ & =\left\{ a_{1},a_{2}\right\} \end{align*} \begin{align*} \bigcap_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\triangle B\right) & =\bigcap_{\lambda\in\left\{ 1,2\right\} }\left(A_{\lambda}\triangle B\right)\\ & =\left(A_{1}\triangle B\right)\cap\left(A_{2}\triangle B\right)\\ & =\left(\left\{ a_{1}\right\} \triangle\left\{ a_{1},a_{2}\right\} \right)\cap\left(\left\{ a_{2}\right\} \triangle\left\{ a_{1},a_{2}\right\} \right)\\ & =\left\{ a_{2}\right\} \cap\left\{ a_{1}\right\} \\ & =\emptyset \end{align*} となるので、
\[ \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\triangle B\ne\bigcap_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\triangle B\right) \] となる。
\[ \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\triangle B\ne\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\triangle B\right) \] \[ \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\triangle B\ne\bigcap_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\triangle B\right) \] となり分配法則が成り立たない。
反例で示す。
\(\Lambda=\left\{ 1,2\right\} ,A_{1}=\left\{ a_{1}\right\} ,A_{2}=\left\{ a_{2}\right\} ,B=\left\{ a_{1},a_{2}\right\} \)とする。
\begin{align*} \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\triangle B & =\left(\bigcup_{\lambda\in\left\{ 1,2\right\} }A_{\lambda}\right)\triangle B\\ & =\left(A_{1}\cup A_{2}\right)\triangle B\\ & =\left(\left\{ a_{1}\right\} \cup\left\{ a_{2}\right\} \right)\triangle\left\{ a_{1},a_{2}\right\} \\ & =\left\{ a_{1},a_{2}\right\} \triangle\left\{ a_{1},a_{2}\right\} \\ & =\emptyset \end{align*} \begin{align*} \bigcup_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\triangle B\right) & =\bigcup_{\lambda\in\left\{ 1,2\right\} }\left(A_{\lambda}\triangle B\right)\\ & =\left(A_{1}\triangle B\right)\cup\left(A_{2}\triangle B\right)\\ & =\left(\left\{ a_{1}\right\} \triangle\left\{ a_{1},a_{2}\right\} \right)\cup\left(\left\{ a_{2}\right\} \triangle\left\{ a_{1},a_{2}\right\} \right)\\ & =\left\{ a_{2}\right\} \cup\left\{ a_{1}\right\} \\ & =\left\{ a_{1},a_{2}\right\} \end{align*} となるので、
\[ \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\triangle B\ne\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\triangle B\right) \] となる。
\begin{align*} \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\triangle B & =\left(\bigcap_{\lambda\in\left\{ 1,2\right\} }A_{\lambda}\right)\triangle B\\ & =\left(A_{1}\cap A_{2}\right)\triangle B\\ & =\left(\left\{ a_{1}\right\} \cap\left\{ a_{2}\right\} \right)\triangle\left\{ a_{1},a_{2}\right\} \\ & =\emptyset\triangle\left\{ a_{1},a_{2}\right\} \\ & =\left\{ a_{1},a_{2}\right\} \end{align*} \begin{align*} \bigcap_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\triangle B\right) & =\bigcap_{\lambda\in\left\{ 1,2\right\} }\left(A_{\lambda}\triangle B\right)\\ & =\left(A_{1}\triangle B\right)\cap\left(A_{2}\triangle B\right)\\ & =\left(\left\{ a_{1}\right\} \triangle\left\{ a_{1},a_{2}\right\} \right)\cap\left(\left\{ a_{2}\right\} \triangle\left\{ a_{1},a_{2}\right\} \right)\\ & =\left\{ a_{2}\right\} \cap\left\{ a_{1}\right\} \\ & =\emptyset \end{align*} となるので、
\[ \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\triangle B\ne\bigcap_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\triangle B\right) \] となる。
(1)
\begin{align*} \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)^{c} & =\left\{ x;x\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right\} ^{c}\\ & =\left\{ x;\exists\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}\right\} ^{c}\\ & =\left\{ x;\forall\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}^{c}\right\} \\ & \left\{ x;x\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}^{c}\right\} \\ & =\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}^{c} \end{align*}(2)
\begin{align*} \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)^{c} & =\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)^{cc}\\ & =\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}^{\;c} \end{align*}(2)-2
直接計算すると、\begin{align*} \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)^{c} & =\left\{ x;x\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right\} ^{c}\\ & =\left\{ x;\forall\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}\right\} ^{c}\\ & =\left\{ x;\exists\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}^{c}\right\} \\ & \left\{ x;x\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}^{c}\right\} \\ & =\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}^{c} \end{align*}
(3)
\begin{align*} \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cap B & =\left\{ x;\exists\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}\right\} \cap B\\ & =\left\{ x;\exists\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}\land x\in B\right\} \\ & =\left\{ x;\exists\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}\cap B\right\} \\ & =\left\{ x;x\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\cap B\right)\right\} \\ & =\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\cap B\right) \end{align*}(4)
\begin{align*} \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cup B & =\left\{ x;\forall\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}\right\} \cup B\\ & =\left\{ x;\forall\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}\lor x\in B\right\} \\ & =\left\{ x;\forall\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}\cup B\right\} \\ & =\left\{ x;x\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\cup B\right)\right\} \\ & =\bigcap_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\cup B\right) \end{align*}(5)
\begin{align*} \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\setminus B & =\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cap B^{c}\\ & =\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\cap B^{c}\right)\\ & =\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\setminus B\right) \end{align*}(6)
(3)と同様にすればいい。(7)
(4)と同様にすればいい。(8)
\begin{align*} B\setminus\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right) & =B\cap\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)^{c}\\ & =B\cap\left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}^{c}\right)\\ & =\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\left(B\cap A_{\lambda}^{c}\right)\\ & =\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\left(B\setminus A_{\lambda}\right) \end{align*}(9)
\begin{align*} \left(\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cup B & =\left\{ x;\exists\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}\right\} \cup B\\ & =\left\{ x;\exists\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}\lor x\in B\right\} \\ & =\left\{ x;\exists\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}\cup B\right\} \\ & =\left\{ x;x\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\cup B\right)\right\} \\ & =\bigcup_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\cup B\right) \end{align*}(10)
\begin{align*} \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cap B & =\left\{ x;\forall\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}\right\} \cap B\\ & =\left\{ x;\forall\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}\land x\in B\right\} \\ & =\left\{ x;\forall\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}\cap B\right\} \\ & =\left\{ x;x\in\bigcap_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\cap B\right)\right\} \\ & =\bigcap_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\cap B\right) \end{align*}(11)
\begin{align*} \left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\setminus B & =\left(\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cap B^{c}\\ & =\bigcap_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\cap B^{c}\right)\\ & =\bigcap_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\setminus B\right) \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 集合族演算の補集合と分配法則 |
| URL | https://www.nomuramath.com/vzd4jb4m/ |
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集合族の添え字集合が空集合
\[
\bigcup_{\lambda\in\emptyset}A_{\lambda}=\emptyset
\]
集合族の和集合・積集合の定義
\[
\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}=\left\{ x;\exists\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}\right\}
\]
和集合・積集合から成り立つ関係
\[
A\cap B=C\Rightarrow A\cup B^{c}=C\cup B^{c}
\]
集合の演算その他
\[
A\cup B=A\cap B\Leftrightarrow A=B
\]