集合族の和集合・積集合の定義
\(\mathcal{A}=\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)を集合族とする。
\(\mathcal{A}=\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)を集合族とする。
(1)集合族の和集合
\begin{align*} \bigcup\mathcal{A} & :=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\\ & :=\left\{ x;\exists\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}\right\} \end{align*}(2)集合族の積集合
\begin{align*} \bigcap\mathcal{A} & :=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\\ & :=\left\{ x;\forall\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}\right\} \end{align*}\(A_{1}=\left\{ a,b\right\} ,A_{2}=\left\{ a,c\right\} ,\Lambda=\left\{ 1,2\right\} \)とすると、
\begin{align*} \bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda} & =\bigcup_{\lambda\in\left\{ 1,2\right\} }A_{\lambda}\\ & =\left\{ x;\exists\lambda\in\left\{ 1,2\right\} ,x\in A_{\lambda}\right\} \\ & =\left\{ x;x\in A_{1}\lor x\in A_{2}\right\} \\ & =\left\{ x;x\in\left\{ a,b\right\} \lor x\in\left\{ a,c\right\} \right\} \\ & =\left\{ a,b,c\right\} \end{align*} \begin{align*} \bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda} & =\bigcap_{\lambda\in\left\{ 1,2\right\} }A_{\lambda}\\ & =\left\{ x;\forall\lambda\in\left\{ 1,2\right\} ,x\in A_{\lambda}\right\} \\ & =\left\{ x;x\in A_{1}\land x\in A_{2}\right\} \\ & =\left\{ x;x\in\left\{ a,b\right\} \land x\in\left\{ a,c\right\} \right\} \\ & =\left\{ a\right\} \end{align*} となる。
\begin{align*} \bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda} & =\bigcup_{\lambda\in\left\{ 1,2\right\} }A_{\lambda}\\ & =\left\{ x;\exists\lambda\in\left\{ 1,2\right\} ,x\in A_{\lambda}\right\} \\ & =\left\{ x;x\in A_{1}\lor x\in A_{2}\right\} \\ & =\left\{ x;x\in\left\{ a,b\right\} \lor x\in\left\{ a,c\right\} \right\} \\ & =\left\{ a,b,c\right\} \end{align*} \begin{align*} \bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda} & =\bigcap_{\lambda\in\left\{ 1,2\right\} }A_{\lambda}\\ & =\left\{ x;\forall\lambda\in\left\{ 1,2\right\} ,x\in A_{\lambda}\right\} \\ & =\left\{ x;x\in A_{1}\land x\in A_{2}\right\} \\ & =\left\{ x;x\in\left\{ a,b\right\} \land x\in\left\{ a,c\right\} \right\} \\ & =\left\{ a\right\} \end{align*} となる。
ページ情報
| タイトル | 集合族の和集合・積集合の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/da8izwu5/ |
| SNSボタン |
2つの集合族同士の演算
\[
\left(\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\right)\cap\left(\prod_{\mu\in\Lambda}B_{\mu}\right)=\prod_{\lambda\in\Lambda}\left(A_{\lambda}\cap B_{\lambda}\right)
\]
和集合・積集合の元とそれぞれの集合との関係
\[
a\in\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\Leftrightarrow\bigvee_{\lambda\in\Lambda}a\in A_{\lambda}
\]
直積集合の性質
\[
\left(A\times B\right)^{c}=\left(A^{c}\times B^{c}\right)\cup\left(A^{c}\times B\right)\cup\left(A\times B^{c}\right)
\]
直積集合の定義
\[
A\times B:=\left\{ \left(a,b\right);a\in A\land b\in B\right\}
\]