集合族の和集合・積集合の定義
\(\mathcal{A}=\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)を集合族とする。
\(\mathcal{A}=\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)を集合族とする。
(1)集合族の和集合
\begin{align*} \bigcup\mathcal{A} & :=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\\ & :=\left\{ x;\exists\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}\right\} \end{align*}(2)集合族の積集合
\begin{align*} \bigcap\mathcal{A} & :=\bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\\ & :=\left\{ x;\forall\lambda\in\Lambda,x\in A_{\lambda}\right\} \end{align*}\(A_{1}=\left\{ a,b\right\} ,A_{2}=\left\{ a,c\right\} ,\Lambda=\left\{ 1,2\right\} \)とすると、
\begin{align*} \bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda} & =\bigcup_{\lambda\in\left\{ 1,2\right\} }A_{\lambda}\\ & =\left\{ x;\exists\lambda\in\left\{ 1,2\right\} ,x\in A_{\lambda}\right\} \\ & =\left\{ x;x\in A_{1}\lor x\in A_{2}\right\} \\ & =\left\{ x;x\in\left\{ a,b\right\} \lor x\in\left\{ a,c\right\} \right\} \\ & =\left\{ a,b,c\right\} \end{align*} \begin{align*} \bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda} & =\bigcap_{\lambda\in\left\{ 1,2\right\} }A_{\lambda}\\ & =\left\{ x;\forall\lambda\in\left\{ 1,2\right\} ,x\in A_{\lambda}\right\} \\ & =\left\{ x;x\in A_{1}\land x\in A_{2}\right\} \\ & =\left\{ x;x\in\left\{ a,b\right\} \land x\in\left\{ a,c\right\} \right\} \\ & =\left\{ a\right\} \end{align*} となる。
\begin{align*} \bigcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda} & =\bigcup_{\lambda\in\left\{ 1,2\right\} }A_{\lambda}\\ & =\left\{ x;\exists\lambda\in\left\{ 1,2\right\} ,x\in A_{\lambda}\right\} \\ & =\left\{ x;x\in A_{1}\lor x\in A_{2}\right\} \\ & =\left\{ x;x\in\left\{ a,b\right\} \lor x\in\left\{ a,c\right\} \right\} \\ & =\left\{ a,b,c\right\} \end{align*} \begin{align*} \bigcap_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda} & =\bigcap_{\lambda\in\left\{ 1,2\right\} }A_{\lambda}\\ & =\left\{ x;\forall\lambda\in\left\{ 1,2\right\} ,x\in A_{\lambda}\right\} \\ & =\left\{ x;x\in A_{1}\land x\in A_{2}\right\} \\ & =\left\{ x;x\in\left\{ a,b\right\} \land x\in\left\{ a,c\right\} \right\} \\ & =\left\{ a\right\} \end{align*} となる。
ページ情報
| タイトル | 集合族の和集合・積集合の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/da8izwu5/ |
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集合列と非交和
\[
\bigcup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }A_{k}=\bigsqcup_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }\left(A_{k}\setminus\bigcup_{j=1}^{k-1}A_{j}\right)
\]
集合列と和集合・積集合
\[
\bigcap_{1\leq j<k\leq n}\left(A_{j}\cup A_{k}\right)=\bigcup_{1\leq j\leq n}\bigcap_{1\leq k\leq n,k\ne j}A_{k}
\]
単調増加列・単調減少列同士の積集合と和集合
\[
A_{k}\nearrow_{k\in\mathbb{N}},B_{k}\nearrow_{k\in\mathbb{N}}\Rightarrow\bigcup_{k=1}^{\infty}\left(A_{k}\cap B_{k}\right)=\bigcup_{k=1}^{\infty}A_{k}\cap\bigcup_{k=1}^{\infty}B_{k}
\]
集合列の和集合と積集合の包含関係
\[
\forall m,n\in\mathbb{N},\bigcap_{k=m}^{\infty}A_{k}\subseteq\bigcup_{k=n}^{\infty}A_{k}
\]