2×2ブロック対称分けの積の分割
2×2ブロック対称分けの積の分割
2×2ブロック対称分けについて次の積の分割が成り立つ。
\begin{align*} \left(\begin{array}{cc} A & B\\ C & D \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{cc} A & O\\ O & D \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} I & A^{-1}B\\ D^{-1}C & I \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} I & BD^{-1}\\ CA^{-1} & I \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} A & O\\ O & D \end{array}\right) \end{align*}
2×2ブロック対称分けについて次の積の分割が成り立つ。
(1)
\(A,D\)は正則とする。\begin{align*} \left(\begin{array}{cc} A & B\\ C & D \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{cc} A & O\\ O & D \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} I & A^{-1}B\\ D^{-1}C & I \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} I & BD^{-1}\\ CA^{-1} & I \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} A & O\\ O & D \end{array}\right) \end{align*}
(2)
\begin{align*} \left(\begin{array}{cc} A & B\\ C & D \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{cc} I & O\\ CA^{-1} & I \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} A & O\\ O & D-CA^{-1}B \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} I & A^{-1}B\\ O & I \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} I & BD^{-1}\\ O & I \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} A-BD^{-1}C & O\\ O & D \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} I & O\\ D^{-1}C & I \end{array}\right) \end{align*} 上の式は\(A\)が正則、下の式は\(D\)が正則とする。(1)
\begin{align*} \left(\begin{array}{cc} A & O\\ O & D \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} I & A^{-1}B\\ D^{-1}C & I \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{cc} AI+OD^{-1}C & AA^{-1}B+OI\\ OI+DD^{-1}C & OA^{-1}B+DI \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} A & B\\ C & D \end{array}\right) \end{align*} \begin{align*} \left(\begin{array}{cc} I & BD^{-1}\\ CA^{-1} & I \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} A & O\\ O & D \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{cc} IA+BD^{-1}O & IO+BD^{-1}D\\ CA^{-1}A+IO & CA^{-1}O+ID \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} A & B\\ C & D \end{array}\right) \end{align*} となるので与式は成り立つ。(2)
\begin{align*} \left(\begin{array}{cc} A & B\\ C & D \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{cc} A & O\\ C & D-CA^{-1}B \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} I & A^{-1}B\\ O & I \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} I & O\\ CA^{-1} & I \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} A & O\\ O & D-CA^{-1}B \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} I & A^{-1}B\\ O & I \end{array}\right) \end{align*} \begin{align*} \left(\begin{array}{cc} A & B\\ C & D \end{array}\right) & =\left(\begin{array}{cc} A-BD^{-1}C & B\\ O & D \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} I & O\\ D^{-1}C & I \end{array}\right)\\ & =\left(\begin{array}{cc} I & BD^{-1}\\ O & I \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} A-BD^{-1}C & O\\ O & D \end{array}\right)\left(\begin{array}{cc} I & O\\ D^{-1}C & I \end{array}\right) \end{align*} となるので与式は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 2×2ブロック対称分けの積の分割 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ahzun5jv/ |
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ブロック対角行列の最小多項式
\[
m\left(x\right)=\lcm\left(m_{1}\left(x\right),m_{2}\left(x\right),\cdots,m_{r}\left(x\right)\right)
\]
ブロック対角行列の固有空間と広義固有空間
\[
W\left(\lambda\right)=\prod_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }W_{k}\left(\lambda\right)
\]
ブロック対角行列の固有多項式と固有値
\[
p_{A}\left(\lambda\right)=\prod_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,r\right\} }p_{A_{k}}\left(\lambda\right)
\]
ブロック対角行列の逆行列
\[
\left(\begin{array}{cccc}
A_{1,1} & O & \cdots & O\\
O & A_{2,2} & \ddots & O\\
\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\
O & O & \cdots & A_{p,p}
\end{array}\right)^{-1}=\left(\begin{array}{cccc}
A_{1,1}^{-1} & O & \cdots & O\\
O & A_{2,2}^{-1} & \ddots & O\\
\vdots & \ddots & \ddots & \vdots\\
O & O & \cdots & A_{p,p}^{-1}
\end{array}\right)
\]