サイコロを\(n\)個振るとき\(6^{n}\)通りある。
サイコロの目は1〜6なので区別の出来ない\(m\)を\(n\)個のサイコロに空ありで振り分けるのと同じである。
従って、
\begin{align*} P_{n,n+m} & =\frac{H\left(n,m\right)}{6^{n}}\\ & =\frac{C\left(n+m-1,m\right)}{6^{n}}\\ & =\frac{P\left(n+m-1,m\right)}{6^{n}m!} \end{align*} となる。

-

一般的には以下の確率漸化式で表される。
\begin{align*} P_{n,n+m} & =\sum_{k=1}^{6}P_{1,k}P_{n-1,n+m-k}\\ & =\frac{1}{6}\sum_{k=1}^{6}P_{n-1,n+m-k} \end{align*} 例えば\(n=2,m=6\)のときは、
\begin{align*} P_{2,8} & =P_{2,2+6}\\ & =\frac{1}{6}\sum_{k=1}^{6}P_{2-1,2+6-k}\\ & =\frac{1}{6}\sum_{k=1}^{6}P_{1,8-k}\\ & =\frac{1}{6}\left(P_{1,7}+\sum_{k=2}^{6}P_{1,8-k}\right)\\ & =\frac{1}{6}\left(0+\frac{1}{6}\left(6-2+1\right)\right)\\ & =\frac{1}{6}\cdot\frac{5}{6}\\ & =\frac{5}{36} \end{align*} となる。
これは2つのサイコロの目を\(\left(m,n\right)\)で表すと、\(\left(2,6\right),\left(3,5\right),\left(4,4\right),\left(5,3\right),\left(6,2\right)\)の5通りで\(\frac{5}{36}\)となり計算と合う。