3角形の面積を外接円・内接円の半径を使って表示
3角形の面積を外接円・内接円の半径を使って表示
3角形\(ABC\)があり角\(A,B,C\)の対辺の長さを\(a,b,c\)として、外接円の半径を\(R\)、内接円の半径を\(r\)とすると、面積\(S\)は次のようになる。
\begin{align*} S & =\frac{abc}{4R}\\ & =\frac{1}{2}r\left(a+b+c\right)\\ & =2R^{2}\sin A\sin B\sin C\\ & =rR\left(\sin A+\sin B+\sin C\right) \end{align*}
3角形\(ABC\)があり角\(A,B,C\)の対辺の長さを\(a,b,c\)として、外接円の半径を\(R\)、内接円の半径を\(r\)とすると、面積\(S\)は次のようになる。
\begin{align*} S & =\frac{abc}{4R}\\ & =\frac{1}{2}r\left(a+b+c\right)\\ & =2R^{2}\sin A\sin B\sin C\\ & =rR\left(\sin A+\sin B+\sin C\right) \end{align*}
\(A+B+C=\pi\)のとき、
\[ \sin A\sin B\sin C=\frac{1}{4}\left\{ \sin\left(2A\right)+\sin\left(2B\right)+\sin\left(2C\right)\right\} \] \[ \sin A+\sin B+\sin C=4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2} \] が成り立つので、
\begin{align*} S & =2R^{2}\sin A\sin B\sin C\\ & =\frac{R^{2}}{2}\left\{ \sin\left(2A\right)+\sin\left(2B\right)+\sin\left(2C\right)\right\} \end{align*} \begin{align*} S & =rR\left(\sin A+\sin B+\sin C\right)\\ & =4rR\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2} \end{align*} も成り立つ。
\[ \sin A\sin B\sin C=\frac{1}{4}\left\{ \sin\left(2A\right)+\sin\left(2B\right)+\sin\left(2C\right)\right\} \] \[ \sin A+\sin B+\sin C=4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2} \] が成り立つので、
\begin{align*} S & =2R^{2}\sin A\sin B\sin C\\ & =\frac{R^{2}}{2}\left\{ \sin\left(2A\right)+\sin\left(2B\right)+\sin\left(2C\right)\right\} \end{align*} \begin{align*} S & =rR\left(\sin A+\sin B+\sin C\right)\\ & =4rR\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2} \end{align*} も成り立つ。
\begin{align*}
S & =\frac{1}{2}bc\sin A\\
& =\frac{1}{2}bc\frac{a}{2R}\cmt{\because\text{正弦定理}}\\
& =\frac{abc}{4R}
\end{align*}
\begin{align*}
S & =\left|\triangle ABC\right|\\
& =\left|\triangle ABI\right|+\left|\triangle BCI\right|+\left|\triangle CAI\right|\\
& =\frac{1}{2}ra+\frac{1}{2}rb+\frac{1}{2}rc\\
& =\frac{1}{2}r\left(a+b+c\right)
\end{align*}
\begin{align*}
S & =\frac{1}{2}ab\sin C\\
& =\frac{1}{2}2R\sin A\cdot2R\sin B\cdot\sin C\cmt{\because\text{正弦定理}}\\
& =2R^{2}\sin A\sin B\sin C
\end{align*}
\begin{align*}
S & =\frac{1}{2}r\left(a+b+c\right)\\
& =\frac{1}{2}r\left(2R\sin A+2R\sin B+2R\sin C\right)\cmt{\because\text{正弦定理}}\\
& =rR\left(\sin A+\sin B+\sin C\right)
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | 3角形の面積を外接円・内接円の半径を使って表示 |
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ブレートシュナイダーの公式
\[
S=\sqrt{\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)\left(s-d\right)-abcd\cos^{2}\frac{A+C}{2}}
\]
3点を通る円
\[
\det\left(\begin{array}{cccc}
x^{2}+y^{2} & x & y & 1\\
x_{1}^{2}+y_{1}^{2} & x_{1} & y_{1} & 1\\
x_{2}^{2}+y_{2}^{2} & x_{2} & y_{2} & 1\\
x_{3}^{2}+y_{3}^{2} & x_{3} & y_{3} & 1
\end{array}\right)=0
\]
4角形の対角線と面積の関係
\[
S=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{DB}\right)
\]
重心・垂心・外心の関係
\[
\boldsymbol{H}+2\boldsymbol{J}=3\boldsymbol{G}
\]