パスカルの法則
パスカルの法則
(1)パスカルの法則
\[ C(x+1,y+1)=C(x,y+1)+C(x,y) \](2)パスカルの法則の差
\[ C\left(x-1,y\right)-C\left(x-1,y-1\right)=\frac{x-2y}{x}C\left(x,y\right) \](1)
\begin{align*} C(x+1,y+1) & =\frac{(x+1)!}{(y+1)!(x-y)!}\\ & =\frac{x+1}{y+1}\frac{x!}{y!(x-y)!}\\ & =\left(\frac{x-y}{y+1}+1\right)\frac{x!}{y!(x-y)!}\\ & =\frac{x!}{(y+1)!(x-y-1)!}+\frac{x!}{y!(x-y)!}\\ & =C(x,y+1)+C(x,y) \end{align*}(1)-2
\(n\)個の対象から\(k\)個を選ぶには、\(n-1\)個と\(1\)個に分け、\(1\)個のほうを選ぶ場合と選ばない場合で考える。\(1\)個のほうを選ぶときは\(n-1\)個から\(k-1\)個を選ぶので、この方法は\(C(n-1,k-1)\)通り。
\(1\)個のほうを選ばないときは\(n-1\)個から\(k\)個を選ぶので、この方法は\(C(n-1,k)\)通り。
これより、\(C(n,k)=C(n-1,k-1)+C(n-1,k)\)となる。
(2)
\begin{align*} C\left(x-1,y\right)-C\left(x-1,y-1\right) & =\frac{x-y}{x}C\left(x,y\right)-\frac{y}{x}C\left(x,y\right)\\ & =\frac{x-2y}{x}C\left(x,y\right) \end{align*}ページ情報
| タイトル | パスカルの法則 |
| URL | https://www.nomuramath.com/bwlu1blq/ |
| SNSボタン |
中央2項係数の通常型母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}C\left(2k,k\right)z^{k}=\left(1-4z\right)^{-\frac{1}{2}}
\]
中央2項係数の値
\[
C\left(2n,n\right)=4^{n}\left(-1\right)^{n}C\left(-\frac{1}{2},n\right)
\]
中央2項係数を含む通常型母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k+1}C\left(2k,k\right)z^{k}=\frac{1}{2z}\left\{ 1-\left(1-4z\right)^{\frac{1}{2}}\right\}
\]
2項係数の総和
\[
\sum_{k=0}^{n}P(k,m)C(n,k)=P(n,m)2^{n-m}
\]