カテゴリー: 数学

2022年11月9日

論理演算同士の関係

\begin{align*} P\lor Q & \Leftrightarrow\lnot P\uparrow\lnot Q\\ & \Leftrightarrow\lnot P\rightarrow Q\\ & \Leftrightarrow P\leftarrow\lnot Q\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\land\lnot Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(P\downarrow Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(\lnot P\nrightarrow Q\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(P\nleftarrow Q\right) \end{align*}

2022年11月5日

逆・裏・対偶の定義と対偶の法則

\[ \left(P\rightarrow Q\right)\Leftrightarrow\left(\lnot P\leftarrow\lnot Q\right) \]

2022年11月2日

論理演算の定義

\[ P\rightarrow Q\Leftrightarrow\lnot P\lor Q \]

2022年10月30日

異分割・奇分割とオイラーの分割恒等式

\[ \sum_{k=0}^{\infty}P_{d}\left(k\right)z^{k}=\prod_{k=1}^{\infty}\left(1+z^{k}\right) \]

2022年10月27日

分割数の定義と母関数

\[ \sum_{k=0}^{\infty}P\left(k\right)z^{k}=\prod_{k=1}^{\infty}\frac{1}{1-z^{k}} \]

2022年10月24日

sinの3乗をｘの2乗で割った定積分

\[ \int_{0}^{\infty}\frac{\sin^{3}x}{x^{2}}dx=? \]

2022年10月21日

2項係数が0になるとき

\[ \forall m,n\in\mathbb{Z},\left(0\leq m<n\right)\lor\left(n<0\leq m\right)\lor\left(m<n<0\right)\Leftrightarrow C\left(m,n\right)=0 \]

2022年10月18日

階乗冪(上昇階乗・下降階乗)とその逆数の値が0となるとき

\[ \forall m,n\in\mathbb{Z},0\leq m<n\Leftrightarrow P\left(m,n\right)=0 \]

2022年10月15日

2年生の夢(高さ2のテトレーションの0から1までの定積分)

\[ \int_{0}^{1}\frac{1}{x^{x}}dx=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{k}} \]

2022年10月12日

テトレーションの微分

\[ \frac{d}{dz}\left(z\uparrow^{2}n\right)=\frac{1}{z}\sum_{k=1}^{n}\left(\log^{k-1}z\right)\prod_{j=n-k}^{n}\left(z\uparrow^{2}j\right) \]

2022年10月8日

2項係数を含む総和

\[ \sum_{k=0}^{n}\frac{\left(-1\right)^{k}C\left(n,k\right)}{m+k}=\frac{1}{mC\left(m+n,m\right)} \]

2022年10月5日

中央2項係数の値

\[ C\left(2n,n\right)=4^{n}\left(-1\right)^{n}C\left(-\frac{1}{2},n\right) \]

方程式問題

2022年10月2日

文字を消去すると4次方程式

\[ \begin{cases} x^{2}-2y=4\\ y^{2}-2x=4 \end{cases} \]

ガンマ関数

2022年9月29日

ガンマ関数の非正整数近傍での値

\[ \lim_{\epsilon\rightarrow\pm0}\Gamma\left(-\epsilon\right)=-\lim_{\epsilon\rightarrow\pm0}\Gamma\left(\epsilon\right) \]

2022年9月26日

階乗・ガンマ関数の商と階乗冪(上昇階乗・下降階乗)の関係

\[ \frac{\Gamma\left(x\right)}{\Gamma\left(y\right)}=Q\left(y,x-y\right) \]

2022年9月23日

負の整数の2項係数

\[ C\left(-m,-n\right)=\left(-1\right)^{m-n}C\left(n-1,m-1\right) \]

ガンマ関数

2022年9月19日

負の整数の階乗の商

\[ \frac{\left(-m\right)!}{\left(-n\right)!}=\left(-1\right)^{n-m}\frac{\Gamma\left(n\right)}{\Gamma\left(m\right)} \]

2022年9月16日

テトレーションと対数

\[ H_{4}\left(a,n\right)=\log_{a}^{m\circ}H_{4}\left(a,n+m\right) \]

2022年9月13日

コンウェイのチェーン表記の優先順位

\begin{align*} & a\rightarrow\left(b\rightarrow c\right)\\ & a\rightarrow b\rightarrow c\\ & \left(a\rightarrow b\right)\rightarrow c \end{align*}

2022年9月10日

コンウェイのチェーン表記の別定義

\[ a\rightarrow b\rightarrow c=a\uparrow^{c}b \]

2022年9月7日

反復コンウェイのチェーン表記

\[ X\rightarrow\left(p+1\right)\rightarrow\left(q+1\right)=f^{p\circ}\left(X\right) \]

2022年9月3日

コンウェイのチェーン表記の基本

\[ a\rightarrow0\rightarrow b=1-\delta_{0b} \]

2022年9月1日

コンウェイのチェーン表記の定義

\[ X\rightarrow\left(a+1\right)\rightarrow\left(b+1\right)=X\rightarrow\left\{ X\rightarrow a\rightarrow\left(b+1\right)\right\} \rightarrow b \]

2022年8月29日

アッカーマン関数の定義と解

\[ A\left(m,n\right)=2\uparrow^{m-2}\left(n+3\right)-3 \]

2022年8月26日

ハイパー演算子とクヌースの矢印表記の(2,2)の値

\[ 2\uparrow^{n}2=4-\delta_{-2,n} \]

2022年8月23日

ハイパー演算子の優先順位

\[ I_{n+1}\left(a,b\right)=I_{n+1}\left(a,b-1\right)^{\left(n\right)}a \]

2022年8月20日

ハイパー演算子の結合法則

\[ a^{\left(n\right)}\left(b^{\left(n\right)}c\right)\ne\left(a^{\left(n\right)}b\right)^{\left(n\right)}c \]

2022年8月18日

ハイバー演算子とクヌースの矢印表記の関係

\[ H_{n}\left(a,b\right)=a\uparrow^{n-2}b\;,\;n\in\mathbb{Z} \]

2022年8月14日

ハイバー演算子の基本的な値

\[ H_{n}\left(0,a\right)=\begin{cases} a+1 & n=0\\ a & n=1\\ 0 & n=2\\ \delta_{0a} & n=3\\ \delta_{0,\mod\left(a,2\right)} & n=4,5,\cdots \end{cases} \]

2022年8月12日

ハイバー演算子の定義

\[ H_{n}\left(a,b\right):=\begin{cases} b+1 & n=0\\ a+b & n=1\\ \underbrace{a^{\left(n-1\right)}a^{\left(n-1\right)}\cdots a^{\left(n-1\right)}a}_{b\;copies\;of\;a} & n=2,3,\cdots \end{cases} \]