(1)

\begin{align*} \left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)^{2}-\left|x+y\right|^{2} & =\left|x\right|^{2}+2\left|x\right|\left|y\right|+\left|y\right|^{2}-\left(x+y\right)^{2}\\ & =x^{2}+2\left|x\right|\left|y\right|+y^{2}-\left(x^{2}+2xy+y^{2}\right)\\ & =2\left(\left|x\right|\left|y\right|-xy\right)\\ & \geq0 \end{align*} \begin{align*} 0 & \leq\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)^{2}-\left|x+y\right|^{2}\\ & =\left\{ \left|x\right|+\left|y\right|+\left|x+y\right|\right\} \left\{ \left|x\right|+\left|y\right|-\left|x+y\right|\right\} \end{align*} なので、両辺を\(\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)+\left|x+y\right|\)で割ると、
\[ 0\leq\left|x\right|+\left|y\right|-\left|x+y\right| \] これより、
\[ \left|x+y\right|\leq\left|x\right|+\left|y\right| \] となる。
ここで\(x\rightarrow x+y,y\rightarrow-y\)とおけば、
\[ \left|x\right|\leq\left|x+y\right|+\left|-y\right| \] となるので、
\[ \left|x\right|-\left|y\right|\leq\left|x+y\right| \] となる。
これより、与式は成り立つ。

(1)-2

右側の不等式のみ示す。
\[ -\left|x\right|\leq x\leq\left|x\right| \] \[ -\left|y\right|\leq y\leq\left|y\right| \] なので、辺々加えると、
\[ -\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)\leq x+y\leq\left|x\right|+\left|y\right| \] となる。
これより、
\[ \left|x+y\right|\leq\left|x\right|+\left|y\right| \] が成り立つ。

(2)

(1)で\(y\rightarrow-y\)とおけばいい。

(2)-2

(1)より、
\[ \left|x\right|-\left|y\right|\leq\left|x+y\right|\leq\left|x\right|+\left|y\right| \] が成り立ち、\(x\rightarrow x-y\)とすると、
\begin{align*} \left|x-y\right|-\left|y\right|\leq\left|x-y+y\right|\leq\left|x-y\right|+\left|y\right| & \Leftrightarrow\left|x-y\right|-\left|y\right|\leq\left|x\right|\leq\left|x-y\right|+\left|y\right|\\ & \Leftrightarrow-\left|x\right|-\left|y\right|\leq-\left|x-y\right|\leq-\left|x\right|+\left|y\right|\cmt{\text{各辺から}\left|x\right|+\left|x-y\right|\text{を引く}}\\ & \Leftrightarrow\left|x\right|-\left|y\right|\leq\left|x-y\right|\leq\left|x\right|+\left|y\right|\cmt{\text{各辺-1倍}} \end{align*} となるので与式は成り立つ。