3角不等式
3角不等式
任意の3角形の任意の2辺の和は残りの1辺より大きくならなければいけない関係を3角不等式という。
(1)
\[ \left|x\right|-\left|y\right|\leq\left|x+y\right|\leq\left|x\right|+\left|y\right| \]
(2)
\[ \left|x\right|-\left|y\right|\leq\left|x-y\right|\leq\left|x\right|+\left|y\right| \]
\[
\left|x+y\right|=\left|x\right|+\left|y\right|
\]
を使うと、
\[
\left|x\right|=\left|x+y-y\right|
\]
より、
\[
\left|x\right|\leq\left|x+y\right|+\left|-y\right|
\]
となるので、
\[
\left|x\right|-\left|y\right|\leq\left|x+y\right|
\]
となる。
また、
\[
\left|x\right|=\left|x-y+y\right|
\]
より、
\[
\left|x\right|\leq\left|x-y\right|+\left|y\right|
\]
となるので、
\[
\left|x\right|-\left|y\right|\leq\left|x-y\right|
\]
となる。
(1)
\begin{align*}
\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)^{2}-\left|x+y\right|^{2} & =\left|x\right|^{2}+2\left|x\right|\left|y\right|+\left|y\right|^{2}-\left(x+y\right)^{2}\\
& =x^{2}+2\left|x\right|\left|y\right|+y^{2}-\left(x^{2}+2xy+y^{2}\right)\\
& =2\left(\left|x\right|\left|y\right|-xy\right)\\
& \geq0
\end{align*}
\begin{align*}
0 & \leq\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)^{2}-\left|x+y\right|^{2}\\
& =\left\{ \left|x\right|+\left|y\right|+\left|x+y\right|\right\} \left\{ \left|x\right|+\left|y\right|-\left|x+y\right|\right\}
\end{align*}
なので、両辺を\(\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)+\left|x+y\right|\)で割ると、
\[
0\leq\left|x\right|+\left|y\right|-\left|x+y\right|
\]
これより、
\[
\left|x+y\right|\leq\left|x\right|+\left|y\right|
\]
となる。
ここで\(x\rightarrow x+y,y\rightarrow-y\)とおけば、
\[
\left|x\right|\leq\left|x+y\right|+\left|-y\right|
\]
となるので、
\[
\left|x\right|-\left|y\right|\leq\left|x+y\right|
\]
となる。
これより、与式は成り立つ。
(1)-2
右側の不等式のみ示す。
\[
-\left|x\right|\leq x\leq\left|x\right|
\]
\[
-\left|y\right|\leq y\leq\left|y\right|
\]
なので、辺々加えると、
\[
-\left(\left|x\right|+\left|y\right|\right)\leq x+y\leq\left|x\right|+\left|y\right|
\]
となる。
これより、
\[
\left|x+y\right|\leq\left|x\right|+\left|y\right|
\]
が成り立つ。
(2)
(1)で\(y\rightarrow-y\)とおけばいい。
ページ情報
タイトル | 3角不等式 |
URL | https://www.nomuramath.com/l3xc8c7s/ |
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