無限正項級数は順序変更出来る

任意の自然数\(n\)に対し、

\[ N_{n}=\max_{1\leq k\leq n}\sigma\left(k\right) \]

とすると、

\[ \sum_{k=1}^{n}a_{\sigma\left(k\right)}\leq\sum_{k=1}^{N_{n}}a_{k} \]

となり、\(n\rightarrow\infty\)とすると、

\[ \sum_{k=1}^{\infty}a_{\sigma\left(k\right)}\leq\sum_{k=1}^{\infty}a_{k} \]

となる。
\(\sigma\left(k\right)\)は\(\sigma\)の逆写像によって\(k\)になるので、

\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}a_{k} & =\sum_{k=1}^{\infty}a_{\sigma^{\bullet}\left(\sigma\left(k\right)\right)}\\ & \leq\sum_{k=1}^{\infty}a_{\sigma\left(k\right)} \end{align*}

も成り立つ。
これより、

\[ \sum_{k=1}^{\infty}a_{k}=\sum_{k=1}^{\infty}a_{\sigma\left(k\right)} \]

が成り立つので無限正項級数は順序変更出来る。