無限正項級数は順序変更出来る
無限正項級数は順序変更出来る
数列\(\left(a_{k}\right)\)の各項が\(a_{k}\geq0\)を満たし、自然数の間の全単射を\(\sigma:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\)とすると、
\[ \sum_{k=1}^{\infty}a_{k}=\sum_{k=1}^{\infty}a_{\sigma\left(k\right)} \] となる。
すなわち無限正項級数は順序変更できる。
数列\(\left(a_{k}\right)\)の各項が\(a_{k}\geq0\)を満たし、自然数の間の全単射を\(\sigma:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}\)とすると、
\[ \sum_{k=1}^{\infty}a_{k}=\sum_{k=1}^{\infty}a_{\sigma\left(k\right)} \] となる。
すなわち無限正項級数は順序変更できる。
任意の自然数\(n\)に対し、
\[ N_{n}=\max_{1\leq k\leq n}\sigma\left(k\right) \] とすると、
\[ \sum_{k=1}^{n}a_{\sigma\left(k\right)}\leq\sum_{k=1}^{N_{n}}a_{k} \] となり、\(n\rightarrow\infty\)とすると、
\[ \sum_{k=1}^{\infty}a_{\sigma\left(k\right)}\leq\sum_{k=1}^{\infty}a_{k} \] となる。
\(\sigma\left(k\right)\)は\(\sigma\)の逆写像によって\(k\)になるので、
\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}a_{k} & =\sum_{k=1}^{\infty}a_{\sigma^{\bullet}\left(\sigma\left(k\right)\right)}\\ & \leq\sum_{k=1}^{\infty}a_{\sigma\left(k\right)} \end{align*} も成り立つ。
これより、
\[ \sum_{k=1}^{\infty}a_{k}=\sum_{k=1}^{\infty}a_{\sigma\left(k\right)} \] が成り立つので無限正項級数は順序変更出来る。
\[ N_{n}=\max_{1\leq k\leq n}\sigma\left(k\right) \] とすると、
\[ \sum_{k=1}^{n}a_{\sigma\left(k\right)}\leq\sum_{k=1}^{N_{n}}a_{k} \] となり、\(n\rightarrow\infty\)とすると、
\[ \sum_{k=1}^{\infty}a_{\sigma\left(k\right)}\leq\sum_{k=1}^{\infty}a_{k} \] となる。
\(\sigma\left(k\right)\)は\(\sigma\)の逆写像によって\(k\)になるので、
\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}a_{k} & =\sum_{k=1}^{\infty}a_{\sigma^{\bullet}\left(\sigma\left(k\right)\right)}\\ & \leq\sum_{k=1}^{\infty}a_{\sigma\left(k\right)} \end{align*} も成り立つ。
これより、
\[ \sum_{k=1}^{\infty}a_{k}=\sum_{k=1}^{\infty}a_{\sigma\left(k\right)} \] が成り立つので無限正項級数は順序変更出来る。
ページ情報
| タイトル | 無限正項級数は順序変更出来る |
| URL | https://www.nomuramath.com/qy2u1wn7/ |
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極限と積分・微分の順序変更
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{a}^{b}f_{n}\left(x\right)dx=\int_{a}^{b}\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right)dx
\]
上極限・下極限は存在
収束列ならばコーシー列
収束列ならばコーシー列となるが逆は一般に成り立たない。
ワイエルシュトラスのM判定法(優級数判定法)