(1)

無限数列\(\left(a_{n}\right)\)が収束するのでその値を\(a\)とすると、

\[ \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a \]

となるので、

\[ \forall\epsilon>0\;,\;\exists N\in\mathbb{N}\;;\;n\geq N\Rightarrow\left|a_{n}-a\right|<\epsilon \]

である。
部分列は\(n<\sigma\left(n\right)\)なので、

\[ \forall\epsilon>0\;,\;\exists N\in\mathbb{N}\;;\;\sigma\left(n\right)>n\geq N\Rightarrow\left|a_{\sigma\left(n\right)}-a\right|<\epsilon \]

となり、

\[ \lim_{n\rightarrow\infty}a_{\sigma\left(n\right)}=a \]

となるので同じ値に収束する。

(2)

無限大に発散する場合
無限数列\(\left(a_{n}\right)\)が無限大に発散するとき、

\[ \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\infty \]

となるので、

\[ \forall M>0\;,\;\exists N\in\mathbb{N}\;;\;n\geq N\Rightarrow a_{n}>M \]

である。
部分列は\(n<\sigma\left(n\right)\)なので、

\[ \forall M>0\;,\;\exists N\in\mathbb{N}\;;\;\sigma\left(n\right)>n\geq N\Rightarrow a_{\sigma\left(n\right)}>M \]

となるので部分列も無限大に発散する。
負の無限大に発散するときも同様である。