収束する数列の部分列は同じ値に収束する
収束する数列の部分列は同じ値に収束する
(1)
無限数列\(\left(a_{n}\right)\)が収束するとき、その部分列\(\left(a_{\sigma\left(n\right)}\right)\)も同じ値に収束する。
(2)
無限数列\(\left(a_{n}\right)\)が正(負)の無限大に発散するとき、その部分列\(\left(a_{\sigma\left(n\right)}\right)\)も正(負)の無限大に発散する。
(1)
無限数列\(\left(a_{n}\right)\)が収束するのでその値を\(a\)とすると、
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a \]
となるので、
\[ \forall\epsilon>0\;,\;\exists N\in\mathbb{N}\;;\;n\geq N\Rightarrow\left|a_{n}-a\right|<\epsilon \]
である。
部分列は\(n<\sigma\left(n\right)\)なので、
\[ \forall\epsilon>0\;,\;\exists N\in\mathbb{N}\;;\;\sigma\left(n\right)>n\geq N\Rightarrow\left|a_{\sigma\left(n\right)}-a\right|<\epsilon \]
となり、
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}a_{\sigma\left(n\right)}=a \]
となるので同じ値に収束する。
(2)
無限大に発散する場合
無限数列\(\left(a_{n}\right)\)が無限大に発散するとき、
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\infty \]
となるので、
\[ \forall M>0\;,\;\exists N\in\mathbb{N}\;;\;n\geq N\Rightarrow a_{n}>M \]
である。
部分列は\(n<\sigma\left(n\right)\)なので、
\[ \forall M>0\;,\;\exists N\in\mathbb{N}\;;\;\sigma\left(n\right)>n\geq N\Rightarrow a_{\sigma\left(n\right)}>M \]
となるので部分列も無限大に発散する。
負の無限大に発散するときも同様である。
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タイトル | 収束する数列の部分列は同じ値に収束する |
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