(0)

\(\left(a_{n}\right)\)を実数列として、\(\sum_{k=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|\)が収束するとする。

\[ s_{k}=\sum_{k=1}^{k}a_{n} \]

とおくと、

\begin{align*} \lim_{k,l\rightarrow\infty}\left|s_{l}-s_{k}\right| & =\lim_{k,l\rightarrow\infty}\left|\sum_{j=k+1}^{l}a_{j}\right|\\ & \leq\lim_{k,l\rightarrow\infty}\sum_{j=k+1}^{l}\left|a_{j}\right|\\ & =0 \end{align*}

となる。
これより、\(s_{k}\)はコーシー列となり実数列は完備なので収束する。
複素数列の場合は\(\alpha_{n}=a_{n}+ib_{n}\)とおくと、

\begin{align*} \left|\alpha_{n}\right| & =\sqrt{a_{n}^{\;2}+b_{n}^{\;2}}\\ & \geq\frac{1}{2}\left(\left|a_{n}\right|+\left|b_{n}\right|\right) \end{align*}

より、実数の場合に帰着できる。

(0)-2

3角不等式より、

\begin{align*} \infty & >\sum_{k=1}^{\infty}\left|\alpha_{n}\right|\\ & \geq\left|\sum_{k=1}^{\infty}\alpha_{n}\right| \end{align*}

となるので、\(\sum_{k=1}^{\infty}\alpha_{n}\)は収束する。

(0)-3

逆は成り立たないことの反例

\[ \sum_{k=1}^{\infty}\left(-1\right)^{k+1}\frac{1}{k}=\log2 \]

であるが、

\begin{align*} \sum_{k=1}^{\infty}\left|\left(-1\right)^{k+1}\frac{1}{k}\right| & =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}\\ & =\infty \end{align*}