(0)

数列\(\left(a_{n}\right)\)が\(a\)に収束するとする。
このとき、

\[ \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a \]

であるので、

\[ \forall\epsilon>0\;,\;\exists N\in\mathbb{N}\;;\;n\geq N\Rightarrow\left|a_{n}-a\right|<\epsilon \]

となる。
このとき、\(m,n\geq N\)となる\(m,n\)を選ぶと、

\begin{align*} \left|a_{m}-a_{n}\right| & =\left|a_{m}-a-\left(a_{n}-a\right)\right|\\ & \leq\left|a_{m}-a\right|+\left|a_{n}-a\right|\\ & <\epsilon+\epsilon\\ & =2\epsilon \end{align*}

となるので、

\[ \forall\epsilon>0\;,\;\exists N\in\mathbb{N}\;;\;m,n\geq N\Rightarrow\left|a_{m}-a_{n}\right|<2\epsilon \]

となり数列\(\left(a_{n}\right)\)はコーシー列となる。

(0)-2

逆は成り立たないことの反例
距離空間として\(\left(0,1\right]\)をとり、\(a_{n}=\frac{1}{n}\)とすると、コーシー列であるが、\(\left(0,1\right]\)に極限値の\(0\)は含まれていないので収束列ではない。

(0)-3

逆は成り立たないことの反例
距離空間として有理数をとり

\begin{align*} a_{1} & =1\\ a_{2} & =1.4\\ a_{3} & =1.5 \end{align*}

と\(\sqrt{2}\)に近づけていく。このとき

\[ \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\sqrt{2} \]

となるが、これはコーシー列であるが、極限値の\(\sqrt{2}\)は無理数で有理数ではないので収束列にはならない。

(0)-4

完備空間ならコーシー列ならば収束列の証明
コーシー列より

\[ \forall\epsilon>0\;,\;\exists N\in\mathbb{N}\;;\;m,n\geq N\Rightarrow\left|a_{m}-a_{n}\right|<\epsilon \]

となるので、\(m,n\geq N\)のとき、

\[ \left|a_{m}-a_{n}\right|<\epsilon \]

より、

\[ a_{m}-\epsilon<a_{n}<a_{m}+\epsilon \]

となる。
ここで

\[ \alpha=\min\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n-1},a_{m}-\epsilon\right) \]

\[ \beta=\max\left(a_{1},a_{2},\cdots,a_{n-1},a_{m}-\epsilon\right) \]

とおく。
\(n<N\)のとき、

\[ \alpha\leq a_{n}\leq\beta \]

\(N\leq n\)のとき、

\[ \alpha\leq a_{m}-\epsilon\leq a_{n}\leq a_{m}+\epsilon\leq\beta \]

となるので、任意の自然数\(n\)に対して、

\[ \alpha\leq a_{n}\leq\beta \]

が成り立つ。
これより、コーシー列\(a_{n}\)は有界であるので、ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理より、収束する部分列をもつ。
この部分列を\(\left(a_{\sigma\left(n\right)}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)として収束値を\(a\)とすると、

\[ \forall\epsilon^{\prime}>0\;,\;\exists N^{\prime}\in\mathbb{N}\;;\;k\geq N^{\prime}\Rightarrow\left|a_{k}-a\right|<\epsilon^{\prime} \]

となる。

これより、\(\max\left(N,N^{\prime}\right)\leq n,k\)のとき、

\begin{align*} \left|a_{n}-a\right| & =\left|\left(a_{n}-a_{k}\right)+\left(a_{k}-c\right)\right|\\ & \leq\left|a_{n}-a_{k}\right|+\left|a_{k}-c\right|\\ & <\epsilon+\epsilon^{\prime} \end{align*}

\(\epsilon\)と\(\epsilon^{\prime}\)は任意の正数であるので、記号を置きなおして、

\[ \forall\epsilon>0\;,\;\exists N\in\mathbb{N}\;;\;n\geq N\Rightarrow\left|a_{n}-a\right|<\epsilon \]

となり、

\[ \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a \]

と収束するので\(\left(a_{n}\right)\)は収束列となる。