異分割・奇分割とオイラーの分割恒等式
\[
\sum_{k=0}^{\infty}P_{d}\left(k\right)z^{k}=\prod_{k=1}^{\infty}\left(1+z^{k}\right)
\]
カテゴリー: 数学
分割数の定義と母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}P\left(k\right)z^{k}=\prod_{k=1}^{\infty}\frac{1}{1-z^{k}}
\]
sinの3乗をｘの2乗で割った定積分
\[
\int_{0}^{\infty}\frac{\sin^{3}x}{x^{2}}dx=?
\]
2項係数が0になるとき
\[
\forall m,n\in\mathbb{Z},\left(0\leq m<n\right)\lor\left(n<0\leq m\right)\lor\left(m<n<0\right)\Leftrightarrow C\left(m,n\right)=0
\]
階乗冪(上昇階乗・下降階乗)とその逆数の値が0となるとき
\[
\forall m,n\in\mathbb{Z},0\leq m<n\Leftrightarrow P\left(m,n\right)=0
\]
2年生の夢(高さ2のテトレーションの0から1までの定積分)
\[
\int_{0}^{1}\frac{1}{x^{x}}dx=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{k}}
\]
テトレーションの微分
\[
\frac{d}{dz}\left(z\uparrow^{2}n\right)=\frac{1}{z}\sum_{k=1}^{n}\left(\log^{k-1}z\right)\prod_{j=n-k}^{n}\left(z\uparrow^{2}j\right)
\]
2項係数を含む総和
\[
\sum_{k=0}^{n}\frac{\left(-1\right)^{k}C\left(n,k\right)}{m+k}=\frac{1}{mC\left(m+n,m\right)}
\]
中央2項係数の値
\[
C\left(2n,n\right)=4^{n}\left(-1\right)^{n}C\left(-\frac{1}{2},n\right)
\]
文字を消去すると4次方程式
\[
\begin{cases}
x^{2}-2y=4\\
y^{2}-2x=4
\end{cases}
\]
ガンマ関数の非正整数近傍での値
\[
\lim_{\epsilon\rightarrow\pm0}\Gamma\left(-\epsilon\right)=-\lim_{\epsilon\rightarrow\pm0}\Gamma\left(\epsilon\right)
\]
階乗・ガンマ関数の商と階乗冪(上昇階乗・下降階乗)の関係
\[
\frac{\Gamma\left(x\right)}{\Gamma\left(y\right)}=Q\left(y,x-y\right)
\]
負の整数の2項係数
\[
C\left(-m,-n\right)=\left(-1\right)^{m-n}C\left(n-1,m-1\right)
\]
負の整数の階乗の商
\[
\frac{\left(-m\right)!}{\left(-n\right)!}=\left(-1\right)^{n-m}\frac{\Gamma\left(n\right)}{\Gamma\left(m\right)}
\]
テトレーションと対数
\[
H_{4}\left(a,n\right)=\log_{a}^{m\circ}H_{4}\left(a,n+m\right)
\]
コンウェイのチェーン表記の優先順位
\begin{align*}
& a\rightarrow\left(b\rightarrow c\right)\\
& a\rightarrow b\rightarrow c\\
& \left(a\rightarrow b\right)\rightarrow c
\end{align*}
コンウェイのチェーン表記の別定義
\[
a\rightarrow b\rightarrow c=a\uparrow^{c}b
\]
反復コンウェイのチェーン表記
\[
X\rightarrow\left(p+1\right)\rightarrow\left(q+1\right)=f^{p\circ}\left(X\right)
\]
コンウェイのチェーン表記の基本
\[
a\rightarrow0\rightarrow b=1-\delta_{0b}
\]
コンウェイのチェーン表記の定義
\[
X\rightarrow\left(a+1\right)\rightarrow\left(b+1\right)=X\rightarrow\left\{ X\rightarrow a\rightarrow\left(b+1\right)\right\} \rightarrow b
\]
アッカーマン関数の定義と解
\[
A\left(m,n\right)=2\uparrow^{m-2}\left(n+3\right)-3
\]
ハイパー演算子とクヌースの矢印表記の(2,2)の値
\[
2\uparrow^{n}2=4-\delta_{-2,n}
\]
ハイパー演算子の優先順位
\[
I_{n+1}\left(a,b\right)=I_{n+1}\left(a,b-1\right)^{\left(n\right)}a
\]
ハイパー演算子の結合法則
\[
a^{\left(n\right)}\left(b^{\left(n\right)}c\right)\ne\left(a^{\left(n\right)}b\right)^{\left(n\right)}c
\]
ハイバー演算子とクヌースの矢印表記の関係
\[
H_{n}\left(a,b\right)=a\uparrow^{n-2}b\;,\;n\in\mathbb{Z}
\]
ハイバー演算子の基本的な値
\[
H_{n}\left(0,a\right)=\begin{cases}
a+1 & n=0\\
a & n=1\\
0 & n=2\\
\delta_{0a} & n=3\\
\delta_{0,\mod\left(a,2\right)} & n=4,5,\cdots
\end{cases}
\]
ハイバー演算子の定義
\[
H_{n}\left(a,b\right):=\begin{cases}
b+1 & n=0\\
a+b & n=1\\
\underbrace{a^{\left(n-1\right)}a^{\left(n-1\right)}\cdots a^{\left(n-1\right)}a}_{b\;copies\;of\;a} & n=2,3,\cdots
\end{cases}
\]
クヌースの矢印表記の定義
\[
a\uparrow^{n}b:=\begin{cases}
ab & n=0\\
1 & n\geq1\;\land\;b=0\\
\underbrace{a\uparrow^{n-1}a\uparrow^{n-1}\cdots\uparrow^{n-1}a}_{b\;copies\;of\;a} & otherwise
\end{cases}
\]
余弦積分の極限
\[
\lim_{x\rightarrow\pm0}\left\{ \Ci\left(\alpha x\right)-\Ci\left(x\right)\right\} =\begin{cases}
\Log\alpha & x\rightarrow+0\\
\Log\left(-\alpha\right)-\pi i & x\rightarrow-0
\end{cases}
\]
偏角・対数の極限
\[
\lim_{x\rightarrow\pm0}\left\{ \Arg\left(\alpha x\right)-\Arg\left(x\right)\right\} =\begin{cases}
\Arg\alpha & x\rightarrow+0\\
\Arg\left(-\alpha\right)-\pi & x\rightarrow-0
\end{cases}
\]