集合の相等・部分集合・真部分集合の定義

(1)集合の相等

集合\(A\)の任意の要素が集合\(B\)の要素であり、集合\(B\)の任意の要素が集合\(A\)の要素であるとき、\(A\)と\(B\)は等しいといい、\(A=B\)で表す。
すなわち\(A=B\Leftrightarrow\forall x\left(x\in A\leftrightarrow x\in B\right)\)である。
または
\begin{align*} A=B & \Leftrightarrow\forall x\left(x\in A\leftrightarrow x\in B\right)\\ & \Leftrightarrow\forall x\left(x\in A\rightarrow x\in B\land x\in A\leftarrow x\in B\right)\\ & \Leftrightarrow\forall x\left(x\in A\rightarrow x\in B\right)\land\forall x\left(x\in A\leftarrow x\in B\right)\\ & \Leftrightarrow A\subseteq B\land A\supseteq B \end{align*} と表される。
\(A\)と\(B\)が等しくないとき\(A\ne B\)で表す。
すなわち\(A\ne B\Leftrightarrow\exists x\left(x\in A\nleftrightarrow x\in B\right)\)である。
または、
\begin{align*} A\ne B & \Leftrightarrow\lnot\left(A\ne B\right)\\ & \Leftrightarrow\lnot\left(A\subseteq B\land A\supseteq B\right)\\ & \Leftrightarrow A\nsubseteq B\lor A\nsupseteq B \end{align*} と表される。

(2)部分集合

集合\(A\)の任意の要素が集合\(B\)の要素であるとき、\(A\)は\(B\)の部分集合であるといい、\(A\subseteq B\)または\(B\supseteq A\)で表す。
すなわち、
\[ A\subseteq B\Leftrightarrow\forall x\left(x\in A\rightarrow x\in B\right) \] である。
\(A\)は\(B\)の部分集合でないとき\(A\nsubseteq B\)で表す。
すなわち、
\[ A\nsubseteq B\Leftrightarrow\exists x\left(x\in A\nrightarrow x\in B\right) \] または、
\[ A\nsubseteq B\Leftrightarrow\exists x\left(x\in A\land x\notin B\right) \] である。

(3)真部分集合

\(A\)は\(B\)の部分集合であるが、\(A\)と\(B\)は異なる集合であるとき、\(A\subsetneq B\)または\(B\supsetneq A\)で表す。
すなわち、
\[ A\subsetneq B\Leftrightarrow\left(A\subseteq B\land A\ne B\right) \] である。
これは、
\[ A\subsetneq B\Leftrightarrow\forall x\left(x\in A\rightarrow x\notin B\right)\land\exists x\left(x\in B\rightarrow x\notin A\right) \] である。