空集合の定義と性質
空集合の定義と性質
空集合の定義
要素を1つも持たない集合を空集合といい\(\emptyset\)で表す。
空集合は
\[ \emptyset=\left\{ \right\} \] である。
空集合の性質
空集合の定義
要素を1つも持たない集合を空集合といい\(\emptyset\)で表す。
空集合は
\[ \emptyset=\left\{ \right\} \] である。
空集合の性質
(1)
空集合は唯1つ存在する。任意の元\(x\)に対し、\(x\notin\emptyset\)となる。
任意の集合\(A\)に対し、\(\emptyset\subseteq A\)となる。
任意の集合\(A\)に対し、\(\emptyset\subseteq A\)となる。
(1)
空集合が\(\emptyset_{1},\emptyset_{2}\)の2つあり\(\emptyset_{1}\ne\emptyset_{2}\)と仮定する。このとき、任意の集合\(A\)に対し\(\emptyset_{1}\subseteq A\)が成り立つので\(A\)に\(\emptyset_{2}\)を代入すると、\(\emptyset_{1}\subseteq\emptyset_{2}\)となる。
同様に\(\emptyset_{2}\subseteq\emptyset_{1}\)が成り立つ。
これより、\(\emptyset_{1}\subseteq\emptyset_{2}\)かつ\(\emptyset_{2}\subseteq\emptyset_{1}\)なので\(\emptyset_{1}=\emptyset_{2}\)となるので矛盾。
従って、背理法より\(\emptyset_{1}=\emptyset_{2}\)となり、空集合は唯1つ存在する。
ページ情報
| タイトル | 空集合の定義と性質 |
| URL | https://www.nomuramath.com/z4pn0ulj/ |
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0ベクトルとの内積
\[
\left\langle \boldsymbol{0},\boldsymbol{x}\right\rangle =\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{0}\right\rangle =0
\]
パーセバルの等式
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \right|^{2}=\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}
\]
ベッセルの不等式
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\left|\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{a}_{k}\right\rangle \right|^{2}\leq\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert ^{2}
\]
(*)完全正規直交系と同値な条件
\[
\forall\boldsymbol{x}\in H,\boldsymbol{x}=\sum_{k}\left\langle \boldsymbol{x},\boldsymbol{e}_{k}\right\rangle \boldsymbol{e}_{k}
\]