空集合の定義と性質
空集合の定義と性質
空集合の定義
要素を1つも持たない集合を空集合といい\(\emptyset\)で表す。
空集合は
\[ \emptyset=\left\{ \right\} \] である。
空集合の性質
空集合の定義
要素を1つも持たない集合を空集合といい\(\emptyset\)で表す。
空集合は
\[ \emptyset=\left\{ \right\} \] である。
空集合の性質
(1)
空集合は唯1つ存在する。任意の元\(x\)に対し、\(x\notin\emptyset\)となる。
任意の集合\(A\)に対し、\(\emptyset\subseteq A\)となる。
任意の集合\(A\)に対し、\(\emptyset\subseteq A\)となる。
(1)
空集合が\(\emptyset_{1},\emptyset_{2}\)の2つあり\(\emptyset_{1}\ne\emptyset_{2}\)と仮定する。このとき、任意の集合\(A\)に対し\(\emptyset_{1}\subseteq A\)が成り立つので\(A\)に\(\emptyset_{2}\)を代入すると、\(\emptyset_{1}\subseteq\emptyset_{2}\)となる。
同様に\(\emptyset_{2}\subseteq\emptyset_{1}\)が成り立つ。
これより、\(\emptyset_{1}\subseteq\emptyset_{2}\)かつ\(\emptyset_{2}\subseteq\emptyset_{1}\)なので\(\emptyset_{1}=\emptyset_{2}\)となるので矛盾。
従って、背理法より\(\emptyset_{1}=\emptyset_{2}\)となり、空集合は唯1つ存在する。
ページ情報
| タイトル | 空集合の定義と性質 |
| URL | https://www.nomuramath.com/z4pn0ulj/ |
| SNSボタン |
直交直和分解定理
\[
W=X_{1}\oplus X_{2}
\]
バナッハ空間の閉部分空間はバナッハ空間
バナッハ空間の例
\[
\left\Vert \boldsymbol{x}\right\Vert _{p}=\left(\sum_{j=1}^{n}\left|x_{j}\right|^{p}\right)^{\frac{1}{p}}
\]
部分ノルム空間・直積ノルム空間・商ノルム空間の定義
\[
\left(V\times W,\left\Vert \left(\boldsymbol{v},\boldsymbol{w}\right)\right\Vert _{V\times W}\right)
\]