空集合の定義と性質

by nomura · 2023年7月31日

空集合の定義と性質

空集合の定義
要素を1つも持たない集合を空集合といい$\emptyset$で表す。
空集合は
\[ \emptyset=\left\{ \right\} \] である。

空集合の性質

(1)

空集合は唯1つ存在する。

任意の元$x$に対し、$x\notin\emptyset$となる。
任意の集合$A$に対し、$\emptyset\subseteq A$となる。

(1)

空集合が$\emptyset_{1},\emptyset_{2}$の2つあり$\emptyset_{1}\ne\emptyset_{2}$と仮定する。
このとき、任意の集合$A$に対し$\emptyset_{1}\subseteq A$が成り立つので$A$に$\emptyset_{2}$を代入すると、$\emptyset_{1}\subseteq\emptyset_{2}$となる。
同様に$\emptyset_{2}\subseteq\emptyset_{1}$が成り立つ。
これより、$\emptyset_{1}\subseteq\emptyset_{2}$かつ$\emptyset_{2}\subseteq\emptyset_{1}$なので$\emptyset_{1}=\emptyset_{2}$となるので矛盾。
従って、背理法より$\emptyset_{1}=\emptyset_{2}$となり、空集合は唯1つ存在する。