集合族・添字集合・部分族の定義

集合族・添字集合・部分族の定義

(1)集合族(集合系)

集合\(A\)の任意の要素が集合であるとき、\(A\)を集合族または集合系という。
集合族とは集合の集合のことである。
集合族も集合であるが筆記体\(\mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{C}\)などを使い集合と区別されることが多い。
\(\mathcal{A}=\left\{ A,B,C,\cdots\right\} \)のように添え字付けられていない集合が集まったものを集合系、添字集合により添え字付けられたもの\(\mathcal{A}=\left\{ A_{1},A_{2},A_{3}\right\} ,\mathcal{A}=\left\{ A_{\lambda};\lambda\in\Lambda\right\} \)を集合族と区別されることもある。

(2)添字集合

集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)があるとき、添字の集合\(\Lambda\)を添字集合という。
また、\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)を\(\Lambda\)で添え字付けられた集合族という。

(3)部分族

集合族\(\mathcal{A},\mathcal{B}\)が\(\mathcal{A}\subseteq\mathcal{B}\)となるとき、\(\mathcal{A}\)を\(\mathcal{B}\)の部分族という。

(1)集合族

\(\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ c,d\right\} \right\} \)は任意の要素が集合なので集合族となる。

(2)添字集合

集合族\(\left\{ A_{1},A_{2}\right\} \)があるとき\(\left\{ A_{1},A_{2}\right\} =\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\left\{ 1,2\right\} }\)となるので\(\left\{ 1,2\right\} \)は添字集合となる。
また\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\left\{ 1,2\right\} }\)を\(\left\{ 1,2\right\} \)で添え字付けられた集合族という。

(3)部分族

集合\(A_{1},A_{2}\)があるとき、\(\left\{ A_{1}\right\} \subseteq\left\{ A_{1},A_{2}\right\} \)となるので\(\left\{ A_{1}\right\} \)を\(\left\{ A_{1},A_{2}\right\} \)の部分族という。


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集合族・添字集合・部分族の定義

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