集合族・添字集合・部分族・集合列・有限集合列の定義

(1)集合族(集合系)

集合\(A\)の任意の要素が集合であるとき、\(A\)を集合族または集合系という。
集合族とは集合の集合のことである。
集合族も集合であるが筆記体\(\mathcal{A},\mathcal{B},\mathcal{C}\)などを使い集合と区別されることが多い。
\(\mathcal{A}=\left\{ A,B,C,\cdots\right\} \)のように添え字付けられていない集合が集まったものを集合系、添字集合により添え字付けられたもの\(\mathcal{A}=\left\{ A_{1},A_{2},A_{3}\right\} ,\mathcal{A}=\left\{ A_{\lambda};\lambda\in\Lambda\right\} \)を集合族と区別されることもある。

(2)添字集合

集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)があるとき、添字の集合\(\Lambda\)を添字集合という。
また、\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)を\(\Lambda\)で添え字付けられた集合族という。

(3)部分族

集合族\(\mathcal{A},\mathcal{B}\)が\(\mathcal{A}\subseteq\mathcal{B}\)となるとき、\(\mathcal{A}\)を\(\mathcal{B}\)の部分族という。

(4)集合列

自然数全体の集合\(\mathbb{N}\)で添え字付けられた集合族\(\left(A_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}=\left(A_{1},A_{2},\cdots\right)\)を集合列といい、部分族の特別な場合です。
集合列は無限に続く列のことです。
集合列は\(\left(A_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}},\left(A_{n};n\in\mathbb{N}\right),\left(A_{1},A_{2},\cdots\right)\)のように表します。
集合列は写像\(\mathbb{N}\rightarrow A,n\mapsto A_{n}\)で対応付けられます。

(5)有限集合列

集合\(\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \)で添え字付けられた集合族\(\left(A_{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} }=\left(A_{1},A_{2},\cdots,A_{n}\right)\)を有限集合列といい、部分族の特別な場合です。
有限集合列は\(\left(A_{k}\right)_{k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} },\left(A_{k};k\in\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \right),\left(A_{k};k=1,2,\cdots,n\right),\left(A_{1},A_{2},\cdots,A_{n}\right)\)のように表します。
有限集合列は写像\(\left\{ 1,2,\cdots,n\right\} \rightarrow A,k\mapsto A_{k}\)で対応付けられます。