空集合は任意の集合の部分集合
空集合は任意の集合の部分集合
任意の集合\(A\)に対し\(\emptyset\subseteq A\)が成り立つ。
任意の集合\(A\)に対し\(\emptyset\subseteq A\)が成り立つ。
\(\emptyset\subseteq\emptyset\)や\(A\subseteq A\)も常に成り立つ。
また任意の集合\(A\)に対し、\(\emptyset\subseteq A\)であるが、\(\emptyset\in A\)ではない。
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\(A=\left\{ a\right\} \)のとき、\(a\in A\)であるが\(\left\{ a\right\} \in A\)ではない。また\(\left\{ a\right\} \subseteq A\)であるが、\(a\subseteq A\)ではない。また任意の集合\(A\)に対し、\(\emptyset\subseteq A\)であるが、\(\emptyset\in A\)ではない。
任意の\(x\in\emptyset\)は常に偽なので、\(\emptyset\subseteq A\Leftrightarrow\forall x\left(x\in\emptyset\rightarrow x\in A\right)\)は真になる。
故に題意は成り立つ。
故に題意は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 空集合は任意の集合の部分集合 |
| URL | https://www.nomuramath.com/xiaki13l/ |
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ジョルダン標準形の例
ジョルダン細胞のべき乗と指数関数
\[
\left(J_{n}^{m}\left(\lambda\right)\right)_{i,j}=C\left(m,j-i\right)\lambda^{m+i-j}
\]
ジョルダン細胞とジョルダン標準形の定義
\[
J_{n}\left(\lambda\right)=\left(\begin{array}{cccccc}
\lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0\\
0 & \lambda & 1 & \ddots & 0 & 0\\
0 & 0 & \lambda & \ddots & 0 & 0\\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & \lambda & 1\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & \lambda
\end{array}\right)
\]
広義固有空間・広義固有ベクトルの性質
\[
\dim\ker\left(\left(\lambda_{k}I-A\right)^{n_{k}}\right)=n_{k}
\]