冪集合の定義
冪集合の定義
ある集合\(A\)の部分集合全体の集合族を冪集合といい\(2^{A}\)で表す。
ある集合\(A\)の部分集合全体の集合族を冪集合といい\(2^{A}\)で表す。
\(A\in2^{A}\)は成り立つが、一般に\(A\nsubseteq2^{A}\)であるので注意。
また\(\emptyset\in2^{A}\)と\(\emptyset\subseteq2^{A}\)はどちらも成り立つ。
また冪集合は必ず空集合を含むので\(\emptyset\in2^{A}\)が成り立ち、空集合は任意の集合の部分集合であるので、\(\emptyset\subseteq2^{A}\)が成り立つ。
何故なら\(B\subseteq A\leftrightarrow B\in2^{A}\)なので\(A=\emptyset\)とすると、\(B\subseteq\emptyset\leftrightarrow B\in2^{\emptyset}\)となり、\(\emptyset\)の部分集合は\(\emptyset\)のみなので\(B=\emptyset\)とすると\(\emptyset\in2^{\emptyset}\)となり、\(\left\{ \emptyset\right\} =2^{\emptyset}\)となる。
また\(\emptyset\in2^{A}\)と\(\emptyset\subseteq2^{A}\)はどちらも成り立つ。
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\(A=\left\{ a,b\right\} \)のとき\(2^{A}=\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ b\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \)なので\(A\in2^{A}\)は成り立つが、\(A\subseteq2^{A}\)は成り立たないので\(A\nsubseteq2^{A}\)となる。また冪集合は必ず空集合を含むので\(\emptyset\in2^{A}\)が成り立ち、空集合は任意の集合の部分集合であるので、\(\emptyset\subseteq2^{A}\)が成り立つ。
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空集合の冪集合は\(2^{\emptyset}=\left\{ \emptyset\right\} \)となる。何故なら\(B\subseteq A\leftrightarrow B\in2^{A}\)なので\(A=\emptyset\)とすると、\(B\subseteq\emptyset\leftrightarrow B\in2^{\emptyset}\)となり、\(\emptyset\)の部分集合は\(\emptyset\)のみなので\(B=\emptyset\)とすると\(\emptyset\in2^{\emptyset}\)となり、\(\left\{ \emptyset\right\} =2^{\emptyset}\)となる。
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一元集合\(\left\{ a\right\} \)の冪集合は\(2^{\left\{ a\right\} }=\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} \right\} \)となる。ページ情報
タイトル | 冪集合の定義 |
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実数の上限・下限の別定義
1次式の逆n乗和
\[
\sum_{k=1}^{m}\frac{1}{\left(\alpha k+\beta\right)^{n}}=\frac{\left(-1\right)^{n-1}}{\alpha^{n}\left(n-1\right)!}\left\{ \psi^{\left(n-1\right)}\left(m+1+\frac{\beta}{\alpha}\right)-\psi^{\left(n-1\right)}\left(1+\frac{\beta}{\alpha}\right)\right\}
\]
[python]リスト内包表記
print([i**2 for i in range(5)]) #[0, 1, 4, 9, 16]
2枚のコインの裏表問題
2枚のコインを投げて少なくとも1枚が表のとき両方が表の確率は?