\(A,B,C\)を集合とする。

反射律

\(\forall x\left(x\in A\rightarrow x\in A\right)\Rightarrow A\subseteq A\)なので\(A\subseteq A\)となり反射律を満たす。

反対称律

\(A=B\Leftrightarrow A\subseteq B\land B\subseteq A\)なので\(A\subseteq B\land B\subseteq A\Rightarrow A=B\)となり、反対称律を満たす。

推移律

\begin{align*} A\subseteq B\land B\subseteq C & \Leftrightarrow\forall x\left(x\in A\rightarrow x\in B\right)\land\forall x\left(x\in B\rightarrow x\in C\right)\\ & \Leftrightarrow\forall x\left(x\in A\rightarrow x\in B\right)\land\left(x\in B\rightarrow x\in C\right)\\ & \Leftrightarrow\forall x\left\{ \left(\lnot x\in A\lor x\in B\right)\land\left(\lnot x\in B\lor x\in C\right)\right\} \\ & \Rightarrow\forall x\left\{ \lnot x\in A\lor x\in B\lor\lnot x\in B\lor x\in C\right\} \\ & \Leftrightarrow\forall x\left\{ \lnot x\in A\lor x\in C\right\} \\ & \Rightarrow\forall x\left(x\in A\rightarrow x\in C\right)\\ & \Leftrightarrow A\subseteq C \end{align*} となるので\(A\subseteq B\land B\subseteq C\Rightarrow A\subseteq C\)より、推移律を満たす。

-

これらより、反射律・反対称律・推移律を満たすので半順序関係を満たす。