包含関係は半順序関係
包含関係は半順序関係
包含関係は半順序関係(反射律・反対称律・推移律)を満たす。
\(A,B,C\)を集合とする。
反射律
\(\forall x\left(x\in A\rightarrow x\in A\right)\Rightarrow A\subseteq A\)なので\(A\subseteq A\)となり反射律を満たす。
反対称律
\(A=B\Leftrightarrow A\subseteq B\land B\subseteq A\)なので\(A\subseteq B\land B\subseteq A\Rightarrow A=B\)となり、反対称律を満たす。
推移律
\begin{align*}
A\subseteq B\land B\subseteq C & \Leftrightarrow\forall x\left(x\in A\rightarrow x\in B\right)\land\forall x\left(x\in B\rightarrow x\in C\right)\\
& \Leftrightarrow\forall x\left(x\in A\rightarrow x\in B\right)\land\left(x\in B\rightarrow x\in C\right)\\
& \Leftrightarrow\forall x\left\{ \left(\lnot x\in A\lor x\in B\right)\land\left(\lnot x\in B\lor x\in C\right)\right\} \\
& \Rightarrow\forall x\left\{ \lnot x\in A\lor x\in B\lor\lnot x\in B\lor x\in C\right\} \\
& \Leftrightarrow\forall x\left\{ \lnot x\in A\lor x\in C\right\} \\
& \Rightarrow\forall x\left(x\in A\rightarrow x\in C\right)\\
& \Leftrightarrow A\subseteq C
\end{align*}
となるので\(A\subseteq B\land B\subseteq C\Rightarrow A\subseteq C\)より、推移律を満たす。
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これらより、反射律・反対称律・推移律を満たすので半順序関係を満たす。
ページ情報
タイトル | 包含関係は半順序関係 |
URL | https://www.nomuramath.com/v6yqewcp/ |
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