包含関係は半順序関係
包含関係は半順序関係
包含関係は半順序関係(反射律・反対称律・推移律)を満たす。
包含関係は半順序関係(反射律・反対称律・推移律)を満たす。
\(A,B,C\)を集合とする。
反射律
\(\forall x\left(x\in A\rightarrow x\in A\right)\Rightarrow A\subseteq A\)なので\(A\subseteq A\)となり反射律を満たす。反対称律
\(A=B\Leftrightarrow A\subseteq B\land B\subseteq A\)なので\(A\subseteq B\land B\subseteq A\Rightarrow A=B\)となり、反対称律を満たす。推移律
\begin{align*} A\subseteq B\land B\subseteq C & \Leftrightarrow\forall x\left(x\in A\rightarrow x\in B\right)\land\forall x\left(x\in B\rightarrow x\in C\right)\\ & \Leftrightarrow\forall x\left(x\in A\rightarrow x\in B\right)\land\left(x\in B\rightarrow x\in C\right)\\ & \Leftrightarrow\forall x\left\{ \left(\lnot x\in A\lor x\in B\right)\land\left(\lnot x\in B\lor x\in C\right)\right\} \\ & \Rightarrow\forall x\left\{ \lnot x\in A\lor x\in B\lor\lnot x\in B\lor x\in C\right\} \\ & \Leftrightarrow\forall x\left\{ \lnot x\in A\lor x\in C\right\} \\ & \Rightarrow\forall x\left(x\in A\rightarrow x\in C\right)\\ & \Leftrightarrow A\subseteq C \end{align*} となるので\(A\subseteq B\land B\subseteq C\Rightarrow A\subseteq C\)より、推移律を満たす。-
これらより、反射律・反対称律・推移律を満たすので半順序関係を満たす。ページ情報
| タイトル | 包含関係は半順序関係 |
| URL | https://www.nomuramath.com/v6yqewcp/ |
| SNSボタン |
πとγがでてくる定積分
\[
\int_{0}^{\infty}\frac{\sin\left(x\right)\log\left(x\right)}{x}dx=?
\]
[定義]絶対収束と条件収束
\[
\sum_{k=1}^{\infty}\left|\alpha_{k}\right|<\infty
\]
2項係数の相加平均・相乗平均を含む極限
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\sqrt[n+1]{\prod_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)}}=\sqrt{e}
\]
カタラン数の定義
\[
C_{n+1}=\sum_{k=0}^{n}C_{k}C_{n-k}
\]