数学 – ページ 34 – 野村数学研究所

2020年12月3日

tanの立方根の積分

\[ \int\sqrt[3]{\tan x}dx=\frac{1}{4}\log\left(\tan^{\frac{4}{3}}x-\tan^{\frac{2}{3}}x+1\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}\tan^{\bullet}\left(\frac{2\tan^{\frac{2}{3}}x-1}{\sqrt{3}}\right)-\frac{1}{2}\log\left(\tan^{\frac{2}{3}}x+1\right)+C \]

積分問題

2020年12月1日

tanの平方根の積分

\[ \int\sqrt{\tan x}dx=\frac{\sqrt{2}}{4}\log\left(\tan x-\sqrt{2\tan x}+1\right)-\frac{\sqrt{2}}{4}\log\left(\tan x+\sqrt{2\tan x}+1\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}\tan^{\bullet}\left(\sqrt{2\tan x}-1\right)+\frac{\sqrt{2}}{2}\tan^{\bullet}\left(\sqrt{2\tan x}+1\right)+C \]

ゼータ関数

2020年11月29日

ζ(4k)の総和

\[ \sum_{k=1}^{\infty}\left(\zeta(4k)-1\right)=\frac{7}{8}-\frac{\pi}{4}\tanh^{-1}\pi \]

ゼータ関数

2020年11月27日

偶数ゼータ・奇数ゼータ・ゼータの総和

\[ \sum_{k=2}^{\infty}\left(\zeta\left(k\right)-1\right)=1 \]

ゼータ関数

2020年11月26日

偶数ゼータの通常型母関数

\[ \sum_{k=1}^{\infty}\zeta(2k)x^{2k}=\frac{1}{2}\left(1-\pi x\tan^{-1}\left(\pi x\right)\right) \]

数学その他

2020年11月24日

逆2乗の別表示

\[ \frac{1}{\left(k+1\right)^{2}}=-\int_{0}^{1}x^{k}\log xdx \]

ゼータ関数

2020年11月23日

ζ(2)の値

\[ \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^{2}}=\frac{\pi^{2}}{6} \]

積分問題

2020年11月21日

対数のルート積分

\[ \int\log^{\frac{1}{2}}xdx=x\log^{\frac{1}{2}}x-\frac{\sqrt{\pi}}{2}erfi\left(\log^{\frac{1}{2}}x\right)+C \]

統計学

2020年11月20日

相補誤差関数と虚数誤差関数の表示

\[ erfc(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{x}^{\infty}e^{-t^{2}}dt \]

統計学

2020年11月18日

誤差関数・相補誤差関数・虚数誤差関数の定義

\[ erf(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^{x}e^{-t^{2}}dt \]

積分問題

2020年11月16日

分母に2乗根と3乗根の積分

\[ \int\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}+x^{\frac{1}{3}}}dx=2x^{\frac{1}{2}}-3x^{\frac{1}{3}}+6x^{\frac{1}{6}}-6\log\left(1+x^{\frac{1}{6}}\right) \]

積分問題

2020年11月15日

分母に(1+x²)²を含む積分

\[ \int\frac{1}{\left(1+x^{2}\right)^{2}}dx=\frac{1}{2}\tan^{\bullet}x+\frac{x}{2\left(1+x^{2}\right)}+C \]

チェビシェフ多項式

2020年11月13日

チェビシェフ多項式の級数表示

\[ T_{n}(x)=\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor }\left(C(n,2k)\left(-1\right)^{k}\left(1-x^{2}\right)^{k}x^{n-2k}\right) \]

チェビシェフ多項式

2020年11月12日

チェビシェフ多項式の別表記

\[ T_{n}(x)=\frac{1}{2}\left(\left(x+i\sqrt{1-x^{2}}\right)^{n}+\left(x-i\sqrt{1-x^{2}}\right)^{n}\right) \]

解析学

2020年11月11日

中央2項係数の総和

\[ \sum_{k=0}^{\infty}C^{-1}\left(2k,k\right)=\frac{4}{3}+\frac{2\sqrt{3}\pi}{27} \]

複素数

2020年11月9日

冪乗の性質

\[ \pv\alpha^{\beta}\pv\alpha^{\gamma}=\pv\alpha^{\beta+\gamma} \]

複素数

2020年11月7日

対数と偏角の性質

\[ \log\alpha^{\beta}=\beta\log\alpha+\log1 \]

複素数

2020年11月6日

複素指数関数の極形式

\[ \alpha^{\beta}=\left|\alpha\right|^{\Re\left(\beta\right)}e^{-\Im\left(\beta\right)\arg\alpha}e^{i\left(\Im\left(\beta\right)\ln\left|\alpha\right|+\Re\left(\beta\right)\arg\alpha\right)} \]

複素数

2020年11月5日