不完全ガンマ関数とガンマ関数との関係
不完全ガンマ関数とガンマ関数との関係
\[ \gamma\left(a,x\right)+\Gamma\left(a,x\right)=\Gamma\left(a\right) \]
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\(\gamma\left(a,x\right)\)は第1種不完全ガンマ関数、\(\Gamma\left(a,x\right)\)は第2種不完全ガンマ関数、\(\Gamma\left(x\right)\)はガンマ関数
\begin{align*} \gamma\left(a,x\right)+\Gamma\left(a,x\right) & =\int_{0}^{x}t^{a-1}e^{-t}dt+\int_{x}^{\infty}t^{a-1}e^{-t}dt\\ & =\int_{0}^{\infty}t^{a-1}e^{-t}dt\\ & =\Gamma\left(a\right) \end{align*}
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タイトル | 不完全ガンマ関数とガンマ関数との関係 |
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第1種・第2種不完全ガンマ関数の漸化式
\[
\Gamma\left(a+1,x\right)=a\Gamma\left(a,x\right)+x^{a}e^{-x}
\]
第1種・第2種不完全ガンマ関数の基本性質
\[
\Gamma\left(1,x\right)=e^{-x}
\]
負の整数の階乗の商
\[
\frac{\left(-m\right)!}{\left(-n\right)!}=\left(-1\right)^{n-m}\frac{\Gamma\left(n\right)}{\Gamma\left(m\right)}
\]
1次式の総乗と階乗
\[
\prod_{k=a}^{b}\left(kn+r\right)=n^{b-a+1}\frac{\left(b+\frac{r}{n}\right)!}{\Gamma\left(a+\frac{r}{n}\right)}
\]