不完全ガンマ関数とガンマ関数との関係
不完全ガンマ関数とガンマ関数との関係
\[ \gamma\left(a,x\right)+\Gamma\left(a,x\right)=\Gamma\left(a\right) \]
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\(\gamma\left(a,x\right)\)は第1種不完全ガンマ関数、\(\Gamma\left(a,x\right)\)は第2種不完全ガンマ関数、\(\Gamma\left(x\right)\)はガンマ関数
\begin{align*} \gamma\left(a,x\right)+\Gamma\left(a,x\right) & =\int_{0}^{x}t^{a-1}e^{-t}dt+\int_{x}^{\infty}t^{a-1}e^{-t}dt\\ & =\int_{0}^{\infty}t^{a-1}e^{-t}dt\\ & =\Gamma\left(a\right) \end{align*}
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タイトル | 不完全ガンマ関数とガンマ関数との関係 |
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ガンマ関数の1/2値
\[
\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}
\]
ガンマ関数の相反公式
\[
\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\pi\sin^{-1}(\pi z)
\]
ガンマ関数のルジャンドル倍数公式
\[
\Gamma(2z)=\frac{2^{2z-1}}{\sqrt{\pi}}\Gamma(z)\Gamma\left(z+\frac{1}{2}\right)
\]
ガンマ関数の微分
\[
\frac{d}{dz}\Gamma(z)=\Gamma(z)\psi(z)
\]