不完全ガンマ関数とガンマ関数との関係
不完全ガンマ関数とガンマ関数との関係
\[ \gamma\left(a,x\right)+\Gamma\left(a,x\right)=\Gamma\left(a\right) \]
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\(\gamma\left(a,x\right)\)は第1種不完全ガンマ関数、\(\Gamma\left(a,x\right)\)は第2種不完全ガンマ関数、\(\Gamma\left(x\right)\)はガンマ関数
\begin{align*} \gamma\left(a,x\right)+\Gamma\left(a,x\right) & =\int_{0}^{x}t^{a-1}e^{-t}dt+\int_{x}^{\infty}t^{a-1}e^{-t}dt\\ & =\int_{0}^{\infty}t^{a-1}e^{-t}dt\\ & =\Gamma\left(a\right) \end{align*}
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タイトル | 不完全ガンマ関数とガンマ関数との関係 |
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- ガンマ関数の無限乗積\[ \Gamma(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}n^{x}n!Q^{-1}(x,n+1) \]
- ディガンマ関数・ポリガンマ関数の級数表示とテイラー展開\[ \psi(z) =-\gamma-\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{z+k}-\frac{1}{k+1}\right) \]
- ガンマ関数の対数とリーマン・ゼータ関数\[ \log\Gamma\left(x+1\right)=-\gamma x+\sum_{k=2}^{\infty}\frac{(-1)^{k}\zeta\left(k\right)}{k}x^{k} \]
- 第2種不完全ガンマ関数とガンマ関数の比の極限\[ \lim_{k\rightarrow0}\frac{\Gamma\left(k,x\right)}{\Gamma\left(k\right)}=\delta_{0x} \]