多重階乗と拡張多重階乗の定義

(1)多重階乗

\(n>0\)のとき、

\[ n!_{k}=\begin{cases} 1 & -k<n\leq0\\ n\left(\left(n-k\right)!_{k}\right) & 0<n \end{cases} \]

で定義する。

\(n<0\)のとき

漸化式\(n!_{k}=n\left(\left(n-k\right)!_{k}\right)\)より、

\[ n!_{k}=\frac{\left(n+k\right)!_{k}}{n+k} \]

で定義する。

(2)拡張多重階乗

\[ \left(x\right)!^{n}=n^{\frac{x-1}{n}}\frac{\left(\frac{x}{n}\right)!}{\left(\frac{1}{n}\right)!} \]

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2つの定義は異なる定義です。