階乗の多重階乗表示
階乗の多重階乗表示
\(n\in\mathbb{N}\)とする。
\[ n!=\prod_{k=0}^{j-1}\left(n-k\right)!_{j}\cnd{j\in\mathbb{N}\;\land\;n\geq j-1} \]
*
\(x!_{n}\)は多重階乗
\(1\)から\(n\)までの数字は\(\left(n\right)!_{j},\left(n-1\right)!_{j},\cdots,\left(n-\left(j-1\right)\right)!_{j}\)のどれか1つのみに含まれているので、与式は成り立つ。
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タイトル | 階乗の多重階乗表示 |
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(拡張)多重階乗と階乗の関係
\[
\left(an+b\right)!_{a}=\frac{a^{n}b!_{a}\left(n+\frac{b}{a}\right)!}{\left(\frac{b}{a}\right)!}
\]
多重階乗の階乗表示
\[
\left(qn+r\right)!_{n}=r!_{n}n^{q}\frac{\left(q+\frac{r}{n}\right)!}{\left(\frac{r}{n}\right)!}
\]
多重階乗と拡張多重階乗の定義
\[
\left(x\right)!^{n}=n^{\frac{x-1}{n}}\frac{\left(\frac{x}{n}\right)!}{\left(\frac{1}{n}\right)!}
\]
拡張多重階乗の漸化式
\[
x!^{n}=x\left(x-n\right)!^{n}
\]