ライプニッツの法則
ライプニッツの法則
\(f,g\)は\(n\)回微分可能な関数とする。
\[ \left(fg\right)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}C(n,k)f^{(k)}g^{(n-k)} \]
\(f,g\)は\(n\)回微分可能な関数とする。
\[ \left(fg\right)^{(n)}=\sum_{k=0}^{n}C(n,k)f^{(k)}g^{(n-k)} \]
\(n=0\)のとき成立
\(n=j\)のとき成立すると仮定
\begin{align*} \left(fg\right)^{(j+1)} & =\left(\left(fg\right)^{(j)}\right)'\\ & =\left(\sum_{k=0}^{j}C(j,k)f^{(k)}g^{(j-k)}\right)'\\ & =\sum_{k=0}^{j}C(j,k)\left(f^{(k+1)}g^{(j-k)}+f^{(k)}g^{(j-k+1)}\right)\\ & =\sum_{k=1}^{j+1}C(j,k-1)f^{(k)}g^{(j-k+1)}+\sum_{k=0}^{j}C(j,k)f^{(k)}g^{(j-k+1)}\\ & =\sum_{k=0}^{j+1}C(j,k-1)f^{(k)}g^{(j-k+1)}+\sum_{k=0}^{j+1}C(j,k)f^{(k)}g^{(j-k+1)}\\ & =\sum_{k=0}^{j+1}\left(C(j,k-1)+C(j,k)\right)f^{(k)}g^{(j-k+1)}\\ & =\sum_{k=0}^{j+1}C(j+1,k)f^{(k)}g^{(j+1-k)} \end{align*} これより\(n=j+1\)でも成立。
故に与式は成り立つ。
\(n=j\)のとき成立すると仮定
\begin{align*} \left(fg\right)^{(j+1)} & =\left(\left(fg\right)^{(j)}\right)'\\ & =\left(\sum_{k=0}^{j}C(j,k)f^{(k)}g^{(j-k)}\right)'\\ & =\sum_{k=0}^{j}C(j,k)\left(f^{(k+1)}g^{(j-k)}+f^{(k)}g^{(j-k+1)}\right)\\ & =\sum_{k=1}^{j+1}C(j,k-1)f^{(k)}g^{(j-k+1)}+\sum_{k=0}^{j}C(j,k)f^{(k)}g^{(j-k+1)}\\ & =\sum_{k=0}^{j+1}C(j,k-1)f^{(k)}g^{(j-k+1)}+\sum_{k=0}^{j+1}C(j,k)f^{(k)}g^{(j-k+1)}\\ & =\sum_{k=0}^{j+1}\left(C(j,k-1)+C(j,k)\right)f^{(k)}g^{(j-k+1)}\\ & =\sum_{k=0}^{j+1}C(j+1,k)f^{(k)}g^{(j+1-k)} \end{align*} これより\(n=j+1\)でも成立。
故に与式は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | ライプニッツの法則 |
| URL | https://www.nomuramath.com/vmslu9zp/ |
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偶関数の分母に指数関数+1がある対称な定積分
\[
\int_{-c}^{c}\frac{f_{e}\left(x\right)}{1+a^{x}}dx=\int_{0}^{c}f_{e}\left(x\right)dx
\]
微分と積分の関係
\[
f\left(x\right)=\int_{f^{\bullet}\left(a\right)}^{x}f'\left(x\right)dx-a
\]
逆関数の微分
\[
\frac{df^{\bullet}(x)}{dx}=\left(\frac{df(f^{\bullet}(x))}{df^{\bullet}(x)}\right)^{-1}
\]
対数を含む積分
\[
\int\log\left(x\right)f\left(x\right)dx=\left[\frac{d}{dt}\int x^{t}f\left(x\right)dx\right]_{t=0}
\]