ウォリス積分の拡張2重階乗表示

ウォリス積分の拡張2重階乗表示

\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}\theta d\theta=\frac{\left(n-1\right)!^{2}}{\left(n\right)!^{2}}\sqrt{\frac{\pi}{2}} \]

*

\(x!^{n}\)は拡張多重階乗。

\begin{align*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}\theta d\theta & =\frac{1}{2}B\left(\frac{n+1}{2},\frac{1}{2}\right)\\ & =\frac{1}{2}\frac{\Gamma\left(\frac{n+1}{2}\right)\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{\Gamma\left(\frac{n+2}{2}\right)}\\ & =\frac{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)}{2}\frac{\left(n-1\right)!^{2}2^{-\frac{n-2}{2}}\frac{1}{2}!}{\left(n\right)!^{2}2^{-\frac{n-1}{2}}\frac{1}{2}!}\cmt{x!^{n}=n^{\frac{x-1}{n}}\frac{\left(\frac{x}{n}\right)!}{\left(\frac{1}{n}\right)!}}\\ & =\frac{\left(n-1\right)!^{2}}{\left(n\right)!^{2}}\sqrt{\frac{\pi}{2}} \end{align*}

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ウォリス積分の拡張2重階乗表示

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