多重階乗の階乗表示
多重階乗の階乗表示
\(q\in\mathbb{N}_{0}\)とする。
\[ \left(qn+r\right)!_{n}=r!_{n}n^{q}\frac{\left(q+\frac{r}{n}\right)!}{\left(\frac{r}{n}\right)!} \]
*
\(x!_{n}\)は多重階乗。
\begin{align*} \left(qn+r\right)!_{n} & =r!_{n}\prod_{k=1}^{q}\left(kn+r\right)\\ & =r!_{n}n^{q}\prod_{k=1}^{q}\left(k+\frac{r}{n}\right)\\ & =r!_{n}n^{q}\prod_{k=1}^{q}\frac{\left(k+\frac{r}{n}\right)!}{\left(k+\frac{r}{n}-1\right)!}\\ & =r!_{n}n^{q}\frac{\left(q+\frac{r}{n}\right)!}{\left(\frac{r}{n}\right)!} \end{align*}
ページ情報
タイトル | 多重階乗の階乗表示 |
URL | https://www.nomuramath.com/seux06gt/ |
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- 多重階乗と拡張多重階乗の定義\[ \left(x\right)!^{n}=n^{\frac{x-1}{n}}\frac{\left(\frac{x}{n}\right)!}{\left(\frac{1}{n}\right)!} \]
- 2重階乗の逆数和\[ \sum_{k=0}^{n}\frac{1}{\left(2k\right)!!}=\sqrt{e}\frac{\Gamma\left(n+1,\frac{1}{2}\right)}{\Gamma\left(n+1\right)} \]
- ウォリス積分の拡張2重階乗表示\[ \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}\theta d\theta=\frac{\left(n-1\right)!^{2}}{\left(n\right)!^{2}}\sqrt{\frac{\pi}{2}} \]
- 負の多重階乗\[ \left(-\left(qn+r\right)\right)!_{n}=\frac{\left(-1\right)^{q}}{\left(qn-\left(n-r\right)\right)!_{n}} \]