多重階乗の階乗表示
多重階乗の階乗表示
\(q\in\mathbb{N}_{0}\)とする。
\[ \left(qn+r\right)!_{n}=r!_{n}n^{q}\frac{\left(q+\frac{r}{n}\right)!}{\left(\frac{r}{n}\right)!} \]
*
\(x!_{n}\)は多重階乗。
\begin{align*} \left(qn+r\right)!_{n} & =r!_{n}\prod_{k=1}^{q}\left(kn+r\right)\\ & =r!_{n}n^{q}\prod_{k=1}^{q}\left(k+\frac{r}{n}\right)\\ & =r!_{n}n^{q}\prod_{k=1}^{q}\frac{\left(k+\frac{r}{n}\right)!}{\left(k+\frac{r}{n}-1\right)!}\\ & =r!_{n}n^{q}\frac{\left(q+\frac{r}{n}\right)!}{\left(\frac{r}{n}\right)!} \end{align*}
ページ情報
タイトル | 多重階乗の階乗表示 |
URL | https://www.nomuramath.com/seux06gt/ |
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(拡張)多重階乗と階乗の関係
\[
\left(an+b\right)!_{a}=\frac{a^{n}b!_{a}\left(n+\frac{b}{a}\right)!}{\left(\frac{b}{a}\right)!}
\]
負の多重階乗
\[
\left(-\left(qn+r\right)\right)!_{n}=\frac{\left(-1\right)^{q}}{\left(qn-\left(n-r\right)\right)!_{n}}
\]
多重階乗と拡張多重階乗の定義
\[
\left(x\right)!^{n}=n^{\frac{x-1}{n}}\frac{\left(\frac{x}{n}\right)!}{\left(\frac{1}{n}\right)!}
\]