第1種・第2種不完全ガンマ関数の漸化式
第1種・第2種不完全ガンマ関数の漸化式
(1)
\[ \gamma\left(a+1,x\right)=a\gamma\left(a,x\right)-x^{a}e^{-x} \]
(2)
\[ \Gamma\left(a+1,x\right)=a\Gamma\left(a,x\right)+x^{a}e^{-x} \]
-
\(\gamma\left(a,x\right)\)は第1種不完全ガンマ関数、\(\Gamma\left(a,x\right)\)は第2種不完全ガンマ関数
(1)
\begin{align*} \gamma\left(a+1,x\right) & =\int_{0}^{x}t^{a}e^{-t}dt\\ & =-\left[t^{a}e^{-t}\right]_{0}^{x}+a\int_{0}^{x}t^{a-1}e^{-t}dt\\ & =a\gamma\left(a,x\right)-x^{a}e^{-x} \end{align*}
(2)
\begin{align*} \Gamma\left(a+1,x\right) & =\int_{x}^{\infty}t^{a}e^{-t}dt\\ & =-\left[t^{a}e^{-t}\right]_{x}^{\infty}+a\int_{x}^{\infty}t^{a-1}e^{-t}dt\\ & =a\Gamma\left(a,x\right)+x^{a}e^{-x} \end{align*}
ページ情報
タイトル | 第1種・第2種不完全ガンマ関数の漸化式 |
URL | https://www.nomuramath.com/jf1aac7r/ |
SNSボタン |
ガンマ関数の無限乗積
\[
\Gamma(x)=\lim_{n\rightarrow\infty}n^{x}n!Q^{-1}(x,n+1)
\]
ガンマ関数・ディガンマ関数・ポリガンマ関数の定義
\[
\Gamma(z)=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt
\]
ガンマ関数の1/2値
\[
\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi}
\]