第1種・第2種不完全ガンマ関数の漸化式
第1種・第2種不完全ガンマ関数の漸化式
(1)
\[ \gamma\left(a+1,x\right)=a\gamma\left(a,x\right)-x^{a}e^{-x} \]
(2)
\[ \Gamma\left(a+1,x\right)=a\Gamma\left(a,x\right)+x^{a}e^{-x} \]
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\(\gamma\left(a,x\right)\)は第1種不完全ガンマ関数、\(\Gamma\left(a,x\right)\)は第2種不完全ガンマ関数
(1)
\begin{align*} \gamma\left(a+1,x\right) & =\int_{0}^{x}t^{a}e^{-t}dt\\ & =-\left[t^{a}e^{-t}\right]_{0}^{x}+a\int_{0}^{x}t^{a-1}e^{-t}dt\\ & =a\gamma\left(a,x\right)-x^{a}e^{-x} \end{align*}
(2)
\begin{align*} \Gamma\left(a+1,x\right) & =\int_{x}^{\infty}t^{a}e^{-t}dt\\ & =-\left[t^{a}e^{-t}\right]_{x}^{\infty}+a\int_{x}^{\infty}t^{a-1}e^{-t}dt\\ & =a\Gamma\left(a,x\right)+x^{a}e^{-x} \end{align*}
ページ情報
タイトル | 第1種・第2種不完全ガンマ関数の漸化式 |
URL | https://www.nomuramath.com/jf1aac7r/ |
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- 第1種・第2種不完全ガンマ関数の基本性質\[ \Gamma\left(1,x\right)=e^{-x} \]
- ガンマ関数・ディガンマ関数・ポリガンマ関数の定義\[ \Gamma(z)=\int_{0}^{\infty}t^{z-1}e^{-t}dt \]
- 偶数と奇数の2重階乗\[ \left(2n+1\right)!!=2^{n+1}\frac{\left(n+\frac{1}{2}\right)!}{\Gamma\left(\frac{1}{2}\right)} \]
- 階乗と階乗の逆数の母関数\[ \frac{x^{a}}{a!}=e^{x}\left(\frac{\Gamma\left(a+1,x\right)}{\Gamma\left(a+1\right)}-\frac{\Gamma\left(a,x\right)}{\Gamma\left(a\right)}\right) \]